Question

已知圓A：（x+2）²+y²=和圓B：（x-2）²+y²=，若圓P與圓A、圓B均外切，
（Ⅰ）求圓心P的軌跡方程；
（Ⅱ）延長PB與點P的軌跡交于另一點Q，若PQ的中點R在直線l：x=a（a≤）上的射影C滿足：•=0，求a的取值范圍．

Answer 1

解：（Ⅰ）設動圓的半徑為r，則PA=r+，PB=r+1，兩式相減得PA-PB=2，
由雙曲線的定義知點P的軌跡是以A、B為焦點的雙曲線的右支，由A（-2，0），B（2，0），
故 2a=2，c=2，∴b=，故其方程為x²-=1（x≥1）．
（Ⅱ）由 •=0知，⊥，故P、Q、C 構成直角三角形，點R到直線l的距離等于
RC==x_R-a ①．
當PQ的斜率不存在時，R與 B重合，a=-1，滿足條件．
當PQ的斜率存在時，設PQ的方程為 y=k（x-2），代入雙曲線方程得：（3-k²）x²+4k²x-（4k²+3）=0，
則由 解得 k²＞3，且 x_R==，
PQ=•|x₁-x₂|=，代入①可得 a==-1-，
由 k²＞3，得 a＜-1．
綜上，a≤-1．
分析：（Ⅰ）由兩圓外切的性質得PA-PB=2，再由雙曲線的定義知點P的軌跡是以A、B為焦點的雙曲線的右支，
依據雙曲線的性質求出雙曲線的方程．
（Ⅱ） 由直角三角形的性質得RC==x_R-a，把PQ的方程的方程代入雙曲線方程，利用判別式以根與系數的
關系，得到k²的范圍，由弦長公式求出PQ，結合k²的范圍求出a 的范圍．
點評：本題考查雙曲線的定義，直線和圓，圓和圓的位置關系，體現了分類討論的數學思想．由直角三角形PQC中，
得到RC==x_R-a 是解題的突破口．