Question

已知圓A：（x+2）²+y²=32，圓P過定點B（2，0）且與圓A內切．
（1）求圓心P的軌跡方程C；
（2）過Q（0，3）作直線l交P的軌跡C于M、N兩點，O為原點．當△MON面積最大時，求此時直線l的斜率．

Answer 1

分析：（1）利用動圓P與定圓（x+2）²+y²=32相內切，以及橢圓的定義，可得動圓圓心P的軌跡M的方程；
（2）設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），l：y=kx+3，通過S_△MON的表達式求出△OAB的面積的最大值時直線l的斜率．

解答：解：（1）由題意，兩圓相內切，故|PA|=4

2

-|PB|，即|PA|+|PB|=4

2

．
又∵AB=4＜4

2

∴動圓的圓心P的軌跡為以A、B為焦點，長軸長為4

2

的橢圓．
動點P的軌跡方程為

x2

8

+

y2

4

=1．
（2）解：設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），l：x=m（y-3），直線與x軸的交點為A（-3m，0）
S_△MON=

1

2

|OA|•|y₁-y2|
把x=m（y-3），代入橢圓方程，得m²（y-3）²+2y²-8=0，
即（m²+2）y²-6m²y-8+9m²=0，△=64-40m²＞0，⇒m²＜

8

5

y₁+y₂=

6m2

m2+2

，y₁y₂=

9m2-8

m2+2

，
|y₁-y₂|=

( 6m2 m2+2 )2-4× 9m2-8 m2+2

=

64-40m2

m2+2

∴S_△AOB=

1

2

|3m|

64-40m2

m2+2

=3

16m2-10m4 (m2+2)2

=3

-10+ 56 m2+2 - 72 (m2+2)2

，令t=

1

m2+2

，
所以S_△AOB=3

-72t2+56t-10

≤2

3

，當t=

7

18

時，即m²=

4

7

＜

8

5

時面積取得最大值．
此時直線的斜率為：

1

m

=±

7

2

．

點評：本題考查圓的基本知識和軌跡方程的求法以及斜率的求法，解題時要注意公式的靈活運用，此題有一定難度．