Question

如圖，四棱錐P-ABCD的底面是直角梯形，其中AB=

2

2

，DC=

2

，AD=1，AD⊥AB，頂點P在底面ABCD的射影落在線段AC上，F是PC的中點．
（Ⅰ）求證：BF∥平面PAD；
（Ⅱ）求證：平面PAC⊥平面PDB；
（Ⅲ）若PA=PC=1，求三棱錐P-DBF的體積．

Answer 1

（Ⅰ）證明：取PD中點E，連結EA、EF，
∵E、F分別是PD、PC的中點，

∴EF∥DC，又DC∥AB，且EF=

1

2

DC=AB，
∴EF∥AB，且EF=AB
∴四邊形EFBA是平行四邊形，∴AE∥BF，
又∵AE?面PAD，BF?面PAD，
∴EF∥平面PAD；
（II）證明：頂點P在底面ABCD的射影落在線段AC上，設為H，則PH⊥平面ABCD，
∵BD?平面ABCD，∴PH⊥BD，
∵Rt△ABD中，

AB

AD

=

2

2

，Rt△DAC中，

AD

DC

=

1

2

=

2

2

，
∴Rt△ABD∽Rt△DAC，
∴∠DAC=∠ABD，故∠ABD+∠CAB=90°即AC⊥BD，
又∵PH∩AC=H，PH、AC?平面PAC，∴BD⊥平面PAC，
BD?平面PBD，∴平面PBD⊥平面PAC；
（ III）∵PA=PC=1，
∴頂點P在底面ABCD的射影H落在線段AC的中點上，且，AC=

1+2

=

3

，
∴S_△BCD=S_△ACD=

1

2

×1×

2

，AH=

1-( 3 2 )2

=

1

2

，
∵F分別是PC的中點，∵F到面PDB的距離是C到面PDB的距離的

1

2

，
VP-DBF=

1

2

VC-PDB=

1

2

VP-DBC=

1

2

×

1

3

×(

1

2

×

2

×1)×

1

2

=

2

24

．