Question

【題目】定義域為的偶函數滿足對，有，且當時， ，若函數在上至多有三個零點，則的取值范圍是

__________.

Answer 1

【答案】

【解析】

∵f（x+2）=f（x）﹣f（1），

且f（x）是定義域為R的偶函數，

令x=﹣1可得f（﹣1+2）=f（﹣1）﹣f（1），

又f（﹣1）=f（1），

∴f（1）=0 則有f（x+2）=f（x），

∴f（x）是最小正周期為2的偶函數．

當x∈[2，3]時，f（x）=﹣2x2+12x﹣18=﹣2（x﹣3）2，

函數的圖象為開口向下、頂點為（3，0）的拋物線．

∵函數y=f（x）﹣loga（|x|+1）在（0，+∞）上至少有三個零點，

令g（x）=loga（|x|+1），則f（x）的圖象和g（x）的圖象至多有3個交點．

可以分兩種情況：其一是有交點時，其二是一個交點也沒有，

當一個交點都沒有時，即a>1.

當有交點時，∵f（x）≤0，∴g（x）≤0，可得0＜a＜1，

要使函數y=f（x）﹣loga（|x|+1）在（0，+∞）上至多有三個零點，

則有g（4）<f（4），可得 loga（4+1）＞f（4）=﹣2，

即loga5<﹣2，∴5>，解得，又0＜a＜1，∴＜a＜1，

故答案為： 。