Question

如圖，在三棱錐中，平面，，為側(cè)棱上一點(diǎn)，它的正（主）視圖和側(cè)（左）視圖如圖所示.

（1）證明：平面；
（2）在的平分線上確定一點(diǎn)，使得平面，并求此時(shí)的長(zhǎng).

Answer 1

（1）詳見(jiàn)解析；（2）.

試題分析：試題分析：（1）先利用三視圖將幾何體進(jìn)行還原，證明平面，要證明垂直于平面內(nèi)的兩條相交直線，由正視圖可以知道為等腰三角形，且為底邊的中點(diǎn)，利用三線合一可以得到，再利用，結(jié)合直線與平面垂直的判定定理證明平面，于是得到，最終利用直線與平面垂直的判定定理得到平面；（2）注意到點(diǎn)為的中點(diǎn)，因此可以以、為鄰邊構(gòu)造平行四邊形，連接交于點(diǎn)，利用中位線證明，再結(jié)合直線與平面平行的判定定理可以得到平面，最終利用勾股定理求的長(zhǎng)度.
試題解析：（1）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824030702810396.png" style="vertical-align:middle;" />平面，所以，
又，所以平面，而，所以．
由三視圖得，在中，，為中點(diǎn)，
所以，又，平面
（2）如圖取的中點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)至，

使得，點(diǎn)即為所求．
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824030703044293.png" style="vertical-align:middle;" />為中點(diǎn)，所以，
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824030703154509.png" style="vertical-align:middle;" />平面，平面，所以平面，
連接，，四邊形的對(duì)角線互相平分，
所以為平行四邊形，所以，
又平面，所以在直角中，
得．