Question

已知點P（x，y）是橢圓上任意一點xy≠1，直線l的方程為
（I）判斷直線l與橢圓E交點的個數；
（II）直線l過P點與直線l垂直，點M（-1，0）關于直線l的對稱點為N，直線PN恒過一定點G，求點G的坐標．

Answer 1

【答案】分析：（I）由，得，由，知，所以x²-2xx+x²=0，再由根的判別式知直線l與橢圓E只有一個交點．
（II）直線l的方程為2yx-xy-xy=0．設M（-1，0）關于直線l的對稱點N的坐標為N（m，n），則，由此能夠導出直線PN恒過定點G（1，0）．
解答：解：（I）由，消去y，并整理得，…（2分）
∵，∴，
∴x²-2xx+x²=0，…（4分）
∴△=4x²-4x²=0，
故直線l與橢圓E只有一個交點…（5分）
（II）直線l的方程為x（y-y）=2y（x-x），
即2yx-xy-xy=0．…（6分）
設M（-1，0）關于直線l的對稱點N的坐標為N（m，n），
則，
解得．…（8分）
∴直線PN的斜率為k=，
從而直線PN的方程為
，
即，
從而直線PN恒過定點G（1，0）．…（12分）
點評：本題主要考查橢圓標準方程，簡單幾何性質，直線與橢圓的位置關系，橢圓的簡單性質等基礎知識．考查運算求解能力，推理論證能力；考查函數與方程思想，化歸與轉化思想．易錯點是計算量大，容量算錯，要多加注意．