Question

【題目】已知函數f（x）= 為偶函數．
（1）求實數a的值；
（2）記集合E={y|y=f（x），x∈{﹣1，1，2}}，λ=（lg 2）2+lg 2lg 5+lg 5﹣ ，判斷λ與E的關系；
（3）當x∈[ ， ]（m＞0，n＞0）時，若函數f（x）的值域為[2﹣3m，2﹣3n]，求m，n的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：函數f（x）= ，則f（﹣x）= = ，

又由函數f（x）為偶函數，則有f（﹣x）=f（x），

即 = ，

解可得a=﹣1；

（2）解：由（1）可得a=﹣1，則f（x）= ，

則有f（1）=f（﹣1）=0，f（2）= ，

則集合E={y|y=f（x），x∈{﹣1，1，2}}={0， }，

λ=（lg 2）2+lg 2lg 5+lg 5﹣ =lg2（lg2+lg5）+lg5﹣ =lg2+lg5﹣ = ，

則有λ∈E；

（3）解：由（1）可得a=﹣1，則f（x）= =1﹣ ，則函數在（0，+∞）為增函數，

若當x∈[ ， ]（m＞0，n＞0）時，函數f（x）的值域為[2﹣3m，2﹣3n]，

則有 ，

解可得m= ，n= ，

又由 ＜ 且m＞0，n＞0，則有0＜n＜m，

則m= ，n= ．

【解析】（1）根據題意，由函數奇偶性的性質建立方程 = ，解可得a的值；（2）由（1）可得a的值，即可得函數的解析式，由此可得集合E，由對數的運算性質計算可得λ的值，分析可得答案；（3）由（1）可得函數的解析式，進而可以斷函數的單調性，結合函數的值域建立方程關系進行求解即可．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解函數奇偶性的性質的相關知識，掌握在公共定義域內，偶函數的加減乘除仍為偶函數；奇函數的加減仍為奇函數；奇數個奇函數的乘除認為奇函數；偶數個奇函數的乘除為偶函數；一奇一偶的乘積是奇函數;復合函數的奇偶性：一個為偶就為偶，兩個為奇才為奇．