Question

已知函數f（x）的圖象在[a，b]上連續不斷，定義：f₁（x）=min{f（t）|a≤t≤x}（x∈[a，b]），f₂（x）=max{f（t）|a≤t≤x}（x∈[a，b]），其中，min{f（x）|x∈D}表示函數f（x）在D上的最小值，max{f（x）|x∈D}表示函數f（x）在D上的最大值，若存在最小正整數k，使得f₂（x）-f₁（x）≤k（x-a）對任意的x∈[a，b]成立，則稱函數f（x）為[a，b]上的“k階收縮函數”．已知函數f（x）=x²，（x∈[-1，4]）為[-1，4]上的“k階收縮函數”，則k的取值是

 

．

Answer 1

分析：根據函數f（x）=x²在x∈[-1，4]上的值域，先寫出f₁（x）、f₂（x）的解析式，再由f₂（x）-f₁（x）≤k（x-a）求出k的范圍得到答案．

解答：解：f1(x)=

x2，x∈[-1，0) 0，x∈[0，4]

，f2(x)=

1，x∈[-1，1) x2，x∈[1，4]

f2(x)-f1(x)=

1-x2，x∈[-1，0) 1，x∈[0，1) x2，x∈[1，4]

當x∈[-1，0]時，1-x²≤k（x+1），∴k≥1-x，k≥2；
當x∈（0，1）時，1≤k（x+1），∴k≥

1

x+1

，∴k≥1；
當x∈[1，4]時，x²≤k（x+1），
∴k≥

x2

x+1

，
∴k≥

16

5

．
綜上所述，∴k≥

16

5

故答案為：k≥

16

5

．

點評：本題主要考查學生的對新問題的接受、分析和解決的能力．要求學生要有很扎實的基本功才能作對這類問題．