Question

已知數列{x_n}，{y_n}滿足x₁=x₂=1，y₁=y₂=2，并且

xn+1

xn

=λ

xn

xn-1

，

yn+1

yn

≥λ

yn

yn-1

（λ為非零參數，n=2，3，4，…）．
（1）若x₁，x₃，x₅成等比數列，求參數λ的值；
（2）當λ＞0時，證明

xn+1

yn+1

≤

xn

yn

(n∈N*)；當λ＞1時，證明：

x1-y1

x2-y2

+

x2-y2

x3-y3

+…+

xn-yn

xn+1-yn+1

＜

λ

λ-1

(n∈N*)．

Answer 1

分析：（1）根據

x3

x2

=λ

x2

x1

把x₁=x₂=1代入求得x₃，同理可求得x₄=λ³，x₅=λ⁶，進而根據等比中項的性質求得λ．
（2）根據根據不等式性質可知有

yn+1

yn

≥λ

yn

yn-1

≥λ 2

yn-1

yn-2

…≥λ n-1

y2

y1

=λ^n-1；

xn+1

xn

=λ

xn

xn-1

₌λ 2

xn-1

xn-2

…λ n-1

x2

x1

=λ^n-1
進而可得出

xn+1

yn+1

≤

xn

yn

，再看當λ＞1時得出

yn+1-xn+1

xn+1

_≥

yn-xn

xn

，即

yn+1-xn+1

yn-xn

≥

xn+1

xn

，代入

x1-y1

x2-y2

+

x2-y2

x3-y3

+…+

xn-yn

xn+1-yn+1

，原式得證．

解答：（1）解：由已知x₁=x₂=1，且

x3

x2

=λ

x2

x1

∴x₃=λ，同理可知x₄=λ³，x₅=λ⁶，若x₁、x₃、x₅成等比數列，則x₃²=x₁x₅，即λ²=λ⁶．而λ≠0，解得λ=±1．
（2）證明：（Ⅰ）由已知λ＞0，x₁=x₂=1及y₁=y₂=2，可得x_n＞0，y_n＞0．由不等式的性質，有

yn+1

yn

≥λ

yn

yn-1

≥λ 2

yn-1

yn-2

…≥
λ n-1

y2

y1

=λ^n-1；
另一方面，

xn+1

xn

=λ

xn

xn-1

₌λ 2

xn-1

xn-2

…λ n-1

x2

x1

=λ^n-1．
因此，

yn+1

yn

≥λ n-1₌

xn+1

xn

（n∈N^*）．故

xn+1

yn+1

≤

xn

yn

（n∈N^*）．
（Ⅱ）當λ＞1時，由（Ⅰ）可知，y_n＞x_n≥1（n∈N^*）．
又由（Ⅰ）

xn+1

yn+1

≤

xn

yn

（n∈N^*），則

yn+1-xn+1

xn+1

_≥

yn-xn

xn

，
從而

yn+1-xn+1

yn-xn

_≥

xn+1

xn

（n∈N^*）．
∴

x1-y1

x2-y2

+

x2-y2

x3-y3

+…+

xn-yn

xn+1-yn+1

=

1-( 1 λ )2

1- 1 λ

＜

λ

λ-1

(n∈N*)

點評：本題以數列的遞推關系為載體，結合等比數列的等比中項及前n項和的公式，運用不等式的性質及證明等基礎知識進行運算和推理論證．