Question

【題目】已知數列，前n項和為，對任意的正整數n，都有恒成立．

（1）求數列的通項公式；

（2）已知關于n的不等式…對一切恒成立，求實數a的取值范圍；

（3）已知 ，數列的前n項和為，試比較與的大小并證明．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3），證明見解析．

【解析】

（1）利用數列的遞推關系式化簡，通過累積法轉化求解數列的通項公式．

（2）設，利用后一項與前一項的差的符號，判斷數列的單調性即可．

（3）通過放縮法，利用裂項消項法求解數列的和Tn=c1+c2+c3+…+cn然后推出結果．

（1）由題意，因為2Sn=（n+1）an，

當n≥2時，2Sn-1=nan-1，

兩式相減2an=（n+1）an-nan-1，可得（n-1）an=nan-1（n≥2），

又a1=1≠0，則an≠0，所以，

可得，

累乘得n≥2時，，

n=1時，a1=1也滿足上式，

所以數列的通項公式為an=n．

（2）設，

則

=

=，

所以f（n）在n≥3，n∈N*上單調遞減，

所以，即．

（3），

則Tn=c1+c2+c3+…+cn

=

=．

所以．