Question

【題目】已知函數有兩個極值點。

（1）求的取值范圍；

（2）求證：。

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析

【解析】分析：第一問利用題中的條件函數有兩個極值點，相當于導數等于零有兩個解，對函數求導，再求二階導，對函數圖像的走向加以分析，最后求得結果，第二問構造相應的函數，研究函數的圖像，找出其對應的最值，最后求得結果.

詳解：（1），設，則，

當時，，所以在單調遞減，

當時，，所以在單調遞增，

所以當時，取得最小值，

因為函數有兩個極值點，所以函數有兩個零點，

所以，所以 ，此時，

，

設，則，

因為時，；時，；

所以在上單調遞減，在單調遞增，

所以，即，

所以，即，

綜上可得的取值范圍是。

（2）由（1）知是方程的兩根，所以，

且時，，所以是上的減函數，

所以

，

因為，所以，即

所以