Question

【題目】已知y=f（x）是R上的可導函數，對于任意的正實數t，都有函數g（x）=f（x+t）﹣f（x）在其定義域內為減函數，則函數y=f（x）的圖象可能為如圖中（ ）
A.
B.
C.
D.

Answer 1

【答案】A
【解析】解：∵函數g（x）=f（x+t）﹣f（x）在其定義域內為減函數， ∴g'（x）=f'（x+t）﹣f'（x）＜0在其定義域內恒成立
即f'（x+t）＜f'（x），結合t＞0，得函數y=f'（x）是其定義域上的減函數．
對于A，可設函數f（x）=ax2+bx+c，（a＜0）
∴f'（x）=2ax+b，滿足在其定義域上為減函數；
對于B，可設f（x）=ax ， （0＜a＜1）
∴f'（x）=axlna，在（0，+∞）上是增函數，不符合題意；
對于C，可設f（x）=x3 ， 可得f'（x）=3x2在其定義域上不是減函數，故C不正確；
對于D，可設f（x）=ax ， （a＞1）
∴f'（x）=axlna，在（0，+∞）上是增函數，不符合題意．
故選A