Question

已知點F是橢圓的右焦點，過原點的直線交橢圓于點A、P，PF垂直于x軸，直線AF交橢圓于點B，PB⊥PA，則該橢圓的離心率e=    ．

Answer 1

【答案】分析：由題意得該橢圓的形狀確定，與大小無關．因此設a=1，得P（c，b²），從而A（-c，-b²），可得到直線AF的方程為：y=（x-c），與橢圓方程聯解得出點B（，），由此得出PB的斜率k₁，并化簡得k₁=-2c，結合PA的斜率k₂=且PB⊥PA，由k₁k₂=-1列式并解之，可得b=c=，最終得出該橢圓的離心率e．
解答：解：根據題意橢圓的離心率為定值，故橢圓的形狀確定，與大小無關
因此設a=1，得橢圓的方程為，
求出橢圓的半焦距c，即得橢圓的離心率．
由F（c，0）及PF⊥x軸，得P（c，b²）
∵PA的中點為坐標原點O
∴A的坐標為（-c，-b²），得直線AF的斜率k==
∴直線AF的方程為：y=（x-c）
由聯解，得B的橫坐標x_B=，
將b²=1-c²代入，化簡得x_B=，代入直線AF方程，得B的縱坐標y_B=
∴直線PB的斜率k₁==-2c
∵PA的斜率k₂=，且PB⊥PA，
∴k₁k₂=-1，得-2c•=-1，解之得b=c=
因此，該橢圓的離心率e==
故答案為：
點評：本題給出滿足特殊條件的橢圓，求該橢圓的離心率，著重考查了橢圓的標準方程和簡單幾何性質等知識，屬于中檔題．