【題目】已知函數(shù)
．
（1）若
，證明：當(dāng)
時(shí)，
；當(dāng)
時(shí)，
；
（2）若
是
的極大值點(diǎn)，求
．
【答案】（1）見解析
（2）
【解析】分析：（1）求導(dǎo)，利用函數(shù)單調(diào)性證明即可。
（2）分類討論
和
,構(gòu)造函數(shù)
,討論
的性質(zhì)即可得到a的范圍。
詳解：（1）當(dāng)
時(shí)，
，
.
設(shè)函數(shù)
，則
.
當(dāng)
時(shí)，
；當(dāng)
時(shí)，
.故當(dāng)
時(shí)，
，且僅當(dāng)
時(shí)，
，從而
，且僅當(dāng)時(shí)，
.
所以
在
單調(diào)遞增.
又
，故當(dāng)時(shí)，
；當(dāng)時(shí)，
.
（2）（i）若
，由（1）知，當(dāng)時(shí)，
，這與是的極大值點(diǎn)矛盾.
（ii）若
，設(shè)函數(shù)
.
由于當(dāng)
時(shí)，
，故
與符號相同.
又
，故是的極大值點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)是的極大值點(diǎn).
.
如果
，則當(dāng)
，且時(shí)，
，故不是的極大值點(diǎn).
如果
，則
存在根
，故當(dāng)
，且時(shí)，
，所以不是的極大值點(diǎn).
如果
，則
.則當(dāng)
時(shí)，；當(dāng)
時(shí)，.所以是的極大值點(diǎn)，從而是的極大值點(diǎn)
綜上，
.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】等差數(shù)列的
公差
不為0，
是其前
項(xiàng)和，給出下列命題：
①若
，且
，則
和
都是
中的最大項(xiàng)；
②給定，對一切
，都有
；
③若
，則中一定有最小項(xiàng)；
④存在
，使得
和
同號.
其中正確命題的個(gè)數(shù)為（ ）
A.4B.3C.2D.1
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】為提高城市居民生活幸福感，某城市公交公司大力確保公交車的準(zhǔn)點(diǎn)率，減少居民乘車候車時(shí)間為此，該公司對某站臺(tái)乘客的候車時(shí)間進(jìn)行統(tǒng)計(jì)乘客候車時(shí)間受公交車準(zhǔn)點(diǎn)率、交通擁堵情況、節(jié)假日人流量增大等情況影響在公交車準(zhǔn)點(diǎn)率正常、交通擁堵情況正常、非節(jié)假日的情況下，乘客候車時(shí)間隨機(jī)變量
滿足正態(tài)分布
在公交車準(zhǔn)點(diǎn)率正常、交通擁堵情況正常、非節(jié)假日的情況下，調(diào)查了大量乘客的候車時(shí)間，經(jīng)過統(tǒng)計(jì)得到如圖頻率分布直方圖.
（1）在直方圖各組中，以該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表該組中的各個(gè)值，試估計(jì)
的值；
（2）在統(tǒng)計(jì)學(xué)中，發(fā)生概率低于千分之三的事件叫小概率事件，一般認(rèn)為，在正常情況下，一次試驗(yàn)中，小概率事件是不能發(fā)生的在交通擁堵情況正常、非節(jié)假日的某天，隨機(jī)調(diào)查了該站的10名乘客的候車時(shí)間，發(fā)現(xiàn)其中有3名乘客候車時(shí)間超過15分鐘，試判斷該天公交車準(zhǔn)點(diǎn)率是否正常，說明理由.
（參考數(shù)據(jù)：
，
，
，
，
）
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，點(diǎn)E、F、G分別為棱A1D1、A1A、A1B1的中點(diǎn)，給出下列四個(gè)命題：①EF⊥B1C；②BC1∥平面EFG；③A1C⊥平面EFG；④異面直線FG、B1C所成角的大小為
．其中正確命題的序號為（ ）
A.①②B.②③C.①②③D.①②④
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】武漢某科技公司為提高市場銷售業(yè)績，現(xiàn)對某產(chǎn)品在部分營銷網(wǎng)點(diǎn)進(jìn)行試點(diǎn)促銷活動(dòng)．現(xiàn)有兩種活動(dòng)方案，在每個(gè)試點(diǎn)網(wǎng)點(diǎn)僅采用一種活動(dòng)方案，經(jīng)統(tǒng)計(jì)，2018年1月至6月期間，每件產(chǎn)品的生產(chǎn)成本為10元，方案1中每件產(chǎn)品的促銷運(yùn)作成本為5元，方案2中每件產(chǎn)品的促銷運(yùn)作成本為2元，其月利潤的變化情況如圖①折線圖所示．
（1）請根據(jù)圖①，從兩種活動(dòng)方案中，為該公司選擇一種較為有利的活動(dòng)方案（不必說明理由）；
（2）為制定本年度該產(chǎn)品的銷售價(jià)格，現(xiàn)統(tǒng)計(jì)了8組售價(jià)xi（單位：元/件）和相應(yīng)銷量y（單位：件）（i＝1，2，…8）并制作散點(diǎn)圖（如圖②），觀察散點(diǎn)圖可知，可用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系，試求y關(guān)于x的回歸方程（系數(shù)精確到整數(shù)）；
參考公式及數(shù)據(jù)：
40，
660，
xiyi＝206630，x
12968，
，
，
（3）公司策劃部選
1200lnx+5000和
═
x3+1200兩個(gè)模型對銷量與售價(jià)的關(guān)系進(jìn)行擬合，現(xiàn)得到以下統(tǒng)計(jì)值（如表格所示）：
|
| |
| 52446.95 | 122.89 |
| 124650 | |
相關(guān)指數(shù) | R | R |
相關(guān)指數(shù)：R2＝1
．
（i）試比較R12，R22的大小（給出結(jié)果即可），并由此判斷哪個(gè)模型的擬合效果更好；
（ii）根據(jù)（1）中所選的方案和（i）中所選的回歸模型，求該產(chǎn)品的售價(jià)x定為多少時(shí)，總利潤z可以達(dá)到最大？
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】第7屆世界軍人運(yùn)動(dòng)會(huì)于2019年10月18日至27日在湖北武漢舉行，賽期10天，共設(shè)置射擊、游泳、田徑、籃球等27個(gè)大項(xiàng)，329個(gè)小項(xiàng).共有來自100多個(gè)國家的近萬名現(xiàn)役軍人同臺(tái)競技.前期為迎接軍運(yùn)會(huì)順利召開，武漢市很多單位和部門都開展了豐富多彩的宣傳和教育活動(dòng)，努力讓大家更多的了解軍運(yùn)會(huì)的相關(guān)知識(shí)，并倡議大家做文明公民.武漢市體育局為了解廣大民眾對軍運(yùn)會(huì)知識(shí)的知曉情況，在全市開展了網(wǎng)上問卷調(diào)查，民眾參與度極高，現(xiàn)從大批參與者中隨機(jī)抽取200名幸運(yùn)參與者，他們得分（滿分100分）數(shù)據(jù)，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下：
組別 |
|
|
|
|
|
|
|
頻數(shù) | 5 | 30 | 40 | 50 | 45 | 20 | 10 |
（1）若此次問卷調(diào)查得分整體服從正態(tài)分布，用樣本來估計(jì)總體，設(shè)
，
分別為這200人得分的平均值和標(biāo)準(zhǔn)差（同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間中點(diǎn)值作為代表），求，的值（，
的值四舍五入取整數(shù)），并計(jì)算
；
（2）在（1）的條件下，為感謝大家參與這次活動(dòng)，市體育局還對參加問卷調(diào)查的幸運(yùn)市民制定如下獎(jiǎng)勵(lì)方案：得分低于的可以獲得1次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，得分不低于的可獲得2次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，在一次抽獎(jiǎng)中，抽中價(jià)值為15元的紀(jì)念品A的概率為
，抽中價(jià)值為30元的紀(jì)念品B的概率為
.現(xiàn)有市民張先生參加了此次問卷調(diào)查并成為幸運(yùn)參與者，記Y為他參加活動(dòng)獲得紀(jì)念品的總價(jià)值，求Y的分布列和數(shù)學(xué)期望，并估算此次紀(jì)念品所需要的總金額.
（參考數(shù)據(jù)：
；
；
.）
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】在平面直角坐標(biāo)系
中，已知橢圓
的左、右頂點(diǎn)分別為
.右焦點(diǎn)為
，過點(diǎn)
且斜率為
的直線交橢圓
于另一點(diǎn)
.
(1)求橢圓的離心率;
(2)若
，設(shè)直線
，延長
交直線
于點(diǎn)
，線段的
中點(diǎn)為
，求證:點(diǎn)
關(guān)于直線
的對稱點(diǎn)在直線
上
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】2019舉國上下以各種不同的形式共慶新中國成立70周年，某商家計(jì)劃以“我和我的祖國"為主題舉辦一次有獎(jiǎng)消費(fèi)活動(dòng)，此商家先把某品牌酒重新包裝，包裝時(shí)在每瓶酒的包裝盒底部隨機(jī)印上“中"國"“夢”三個(gè)字樣中的一個(gè)，之后隨機(jī)裝箱（1箱4瓶），并規(guī)定：若顧客購買的一箱酒中的四瓶酒底部所印的字為同一個(gè)字，則此顧客獲得一等獎(jiǎng)，此箱灑可優(yōu)惠36元；若顧客購買的一箱酒的四瓶灑底部集齊了“中"“國"二字且僅有此二字，則此顧客獲得二等獎(jiǎng)，此箱灑可優(yōu)惠27元；若顧客購買的一箱酒中的四瓶酒的底部集齊了“中”“國"“夢”三個(gè)字，則此顧客獲得三等獎(jiǎng)，此箱酒可優(yōu)惠18元（注：每箱單獨(dú)兌獎(jiǎng)，箱與箱之間的包裝盒不能混）.
（1）①設(shè)
為顧客購買一箱酒所優(yōu)惠的錢數(shù)，求的分布列；
②若不計(jì)其他損耗，商家重新包裝后每箱酒提價(jià)a元，試問a取什么范圍時(shí)才能使活動(dòng)后的利潤不會(huì)小于搞活動(dòng)之前？
（2）若顧客一次性購買3箱酒，并都中獎(jiǎng)，可再加贈(zèng)一張《我和我的祖國》電影票，顧客小張一次性購買3箱酒，共優(yōu)惠了72元，試問小張能否得到電影票，概率多大？
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】設(shè)橢圓
的左焦點(diǎn)為
，離心率為
，為圓
的圓心.
（1）求橢圓的方程；
（2）已知過橢圓右焦點(diǎn)
的直線
交橢圓于
兩點(diǎn)，過且與垂直的直線
與圓
交于
兩點(diǎn)，求四邊形
面積的取值范圍.
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