Question

設p：

m-2

m-3

≤

2

3

，q：關于x的不等式x²-4x+m²≤0的解集是空集，試確定實數m的取值范圍，使得p∨q為真命題，p∧q為假命題．

Answer 1

分析：通過解分式不等式求得命題p為真時m的范圍；根據一元二次不等式解集為空集的條件求得命題q為真時m的范圍，再根據復合命題真值表知，
若p∨q真，p∧q假，則命題p、q一真一假，分別求出當p真q假時和當p假q真時m的范圍，再求并集．

解答：解：

m-2

m-3

≤

2

3

得0≤m＜3，故命題p為真時，0≤m＜3；
由不等式x²-4x+m²≤0的解集是空集，得△=16-4m²＜0⇒m＜-2或m＞2．
由復合命題真值表知，若p∨q真，p∧q假，則命題p、q一真一假，
當p真q假時，即

0≤m＜3 -2≤m≤2

⇒0≤m≤2．
當p假q真時，即

m≥3或m＜0 m＜-2或m＞2

⇒m＜-2或m≥3．
綜上得，m∈（-∞，-2）∪[0，2]∪[3，+∞）．

點評：本題借助考查復合命題的真假判定，考查了分式不等式的解法及一元二次不等式的解集，解題的關鍵是求得簡單命題為真時的條件．