Question

在平面直角坐標系中，已知拋物線：，在此拋物線上一點到焦點的距離是3.
（1）求此拋物線的方程；
（2）拋物線的準線與軸交于點，過點斜率為的直線與拋物線交于、兩點．是否存在這樣的，使得拋物線上總存在點滿足，若存在，求的取值范圍；若不存在，說明理由．

Answer 1

（1）；（2）存在這樣的，且的取值范圍為.

試題分析：（1）由拋物線準線方程可得，從而得出拋物線的方程；
（2）設，，，聯立直線與拋物線的方程整理得一元二次方程，由判別式得出的取值范圍，并根據韋達定理得，.然后由得，進而得到，根據判別式確定的取值范圍即可.  
試題解析：（1）拋物線準線方程是，    
，               
故拋物線的方程是.                            
（2）設，，
由得， 
由得且.
，                                 
，同理
由得，
即：，                              
∴，                                      
，得且，
由且得，
的取值范圍為