【題目】（本小題滿分14分）如圖，三角形
所在的平面與長方形
所在的平面垂直，
，
，
．
（1）證明：
平面
；
（2）證明：
；
（3）求點
到平面
的距離．
【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）
．
【解析】
試題分析：（1）由四邊形
是長方形可證
，進而可證
平面
；（2）先證
，再證
平面
，進而可證
；（3）取
的中點
，連結
和
，先證
平面
，再設點
到平面
的距離為
，利用
可得
的值，進而可得點到平面的距離．
試題解析：（1）因為四邊形是長方形，所以，因為
平面
，
平面
，所以平面
（2）因為四邊形是長方形，所以，因為平面
平面
，平面
平面
，
平面，所以平面，因為
平面，所以
（3）取的中點，連結和，因為
，所以
，在
中，
，因為平面平面，平面平面，
平面
，所以平面，由（2）知：平面，由（1）知：，所以
平面，因為
平面，所以
，設點到平面的距離為，因為，所以
，即
，所以點到平面的距離是
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【題目】圓臺的上、下底面半徑分別為
、
，母線長
，從圓臺母線
的中點
拉一條繩子繞圓臺側面轉到
點（
在下底面），求：
（1）繩子的最短長度；
（2）在繩子最短時，上底圓周上的點到繩子的最短距離．
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【題目】對于函數
，如果存在實數
使得
，那么稱
為
的生成函數.
（1）函數
，是否為的生成函數？說明理由；
（2）設
，
，當
時生成函數，求的對稱中心（不必證明）；
（3）設
，
，取
，
，生成函數，若函數的最小值是5，求實數
的值.
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【題目】下列說法：
①將一組數據中的每一個數據都加上或減去同一個常數后，方差不變；
②設有一個線性回歸方程
，變量x增加1個單位時，y平均增加5個單位；
③設具有相關關系的兩個變量x，y的相關系數為r，則|r|越接近于0，x和y之間的線性相關程度越強；
④在一個2×2列聯表中，由計算得K2的值，則K2的值越大，判斷兩個變量間有關聯的把握就越大．
以上錯誤結論的個數為( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
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【題目】已知函數f(x)＝
x2－aln x(a∈R)．
(1)若f(x)在x＝2處取得極值，求a的值；
(2)求f(x)的單調區間；
(3)求證：當x>1時， x2＋ln x<
x3.
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【題目】已知橢圓
：
的離心率為
，以短軸端點和焦點為頂點的四邊形的周長為
.
（Ⅰ）求橢圓的標準方程及焦點坐標.
（Ⅱ）過橢圓的右焦點作
軸的垂線，交橢圓于
、
兩點，過橢圓上不同于點、的任意一點
，作直線
、
分別交軸于
、
兩點.證明：點、的橫坐標之積為定值.
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【題目】設
是一個由
和
構成的
行
列的數表，且中所有數字之和不小于
，所有這樣的數表構成的集合記為
，記
為的第
行各數之和
，
為的第
列各數之和
，
為
、
、
，
、
、
、、
中的最大值.
（1）對如下數表，求的值；
|
|
|
|
|
|
|
|
（2）設數表
，求的最小值；
（3）已知
為正整數，對于所有的
，
，且的任意兩行中最多有
列各數之和為，求的值.
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【題目】如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為正方形，側面PAD是正三角形，側面
底面ABCD，M是PD的中點.
（1）求證：
平面PCD；
（2）求側面PBC與底面ABCD所成二面角的余弦值.
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【題目】某手機生產廠商為迎接5G時代的到來，要生產一款5G手機，在生產之前，該公司對手機屏幕的需求尺寸進行社會調查，共調查了400人，將這400人按對手機屏幕的需求尺寸分為6組，分別是：
，
，
，
，
，
（單位：英寸），得到如下頻率分布直方圖：
其中，屏幕需求尺寸在的一組人數為50人．
（1）求a和b的值；
（2）用分層抽樣的方法在屏幕需求尺寸為和兩組人中抽取6人參加座談，并在6人中選擇2人做代表發言，則這2人來自同一分組的概率是多少？
（3）若以廠家此次調查結果的頻率作為概率，市場隨機調查兩人，這兩人屏幕需求尺寸分別在和的概率是多少？
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