Question

已知向量

a

=(sinx，

3

2

)，

b

=(cosx，-1)．
（1）當(dāng)

a

∥

b

時(shí)，求 2cos²x-2sinxcosx的值；
（2）求函數(shù)f(x)=2sinx+(

a

+

b

)•(

a

-

b

)在[-

π

2

，0]上的最小值，及取得最小值時(shí)x的值．

Answer 1

分析：（1）利用向量共線的坐標(biāo)計(jì)算公式、弦化切即可得出；
（2）利用向量的運(yùn)算法則、三角函數(shù)的單調(diào)性、二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答：解：（1）∵

a

||

b

，∴

3

2

cosx+sinx=0，∴tanx=-

3

2

，
∴2cos2x-sin2x=

2cos2x-2sinxcosx

sin2x+cos2x

=

2-2tanx

1+tan2x

=

20

13

．
（2）

f(x)=2sinx+ a 2- b 2=2sin2x+2sinx+ 1 4

，
∵x∈[-

π

2

，0]，∴sinx∈[-1，0]．
∴f(x)=2sin2x+2sinx+

1

4

=2(sinx+

1

2

)2-

1

4

．
∵-

1

2

∈[-1，0]，
∴當(dāng)sinx=-

1

2

時(shí)，即x=-

π

6

，f(x)min=-

1

4

．

點(diǎn)評：熟練掌握向量共線的坐標(biāo)計(jì)算公式、弦化切方法、向量的運(yùn)算法則、三角函數(shù)的單調(diào)性、二次函數(shù)的單調(diào)性是解題的關(guān)鍵．