Question

已知定義域為D的函數f（x），如果對任意x∈D，存在正數K，都有|f（x）|≤K|x|成立，那么稱函數f（x）是D上的“倍約束函數”，已知下列函數：①f（x）=2x；②f（x）=2sin(x+

π

4

)；③f（x）=

x-1

；④f（x）=

x

x2-x+1

，其中是“倍約束函數的是

 

．

Answer 1

分析：此題考查的是新定義問題與恒成立問題相結合的綜合類問題．在解答時可以逐一排查．對①f（x）=2x，易知存在K=2符合題意；對②特值即可解答；對③先假設存在K符合題意不等式，即可通過游離參數的方法找適合的k，從而獲得解答；對④有于分母能取到最小值故倒數能取到最大值，從而易找到正數K符合定義．

解答：解：∵對任意x∈D，存在正數K，都有|f（x）|≤K|x|成立∴對任意x∈D，存在正數K，都有K≥

|f(x)|

|x|

成立
∴對①f（x）=2x，易知存在K=2符合題意；
對②取特值如令x=

π

4

，則

|f(x)|

|x|

=

2

|x|

，不存在K≥

2

|x|

恒成立；
對③先假設存在K符合題意，即可得：存在正數K有：

x-1

≤K|x|，通過游離參數可知K≥

x-1

|x|

=

x-1 x2

=

- 1 x2 + 1 x

又

- 1 x2 + 1 x

≤

1

2

，從而存在正數k符合題意；
對④有于分母能取到最小值

3

4

故倒數能取到最大值

4

3

，從而易找到正數K=

4

3

符合定義．
故答案為：①③④．

點評：此題考查的是新定義問題與恒成立問題相結合的綜合類問題．正確理解題目中給的新定義是解決問題的關健．同時要掌握恒成立問題的解題方法．