Question

已知f（x）=lg（x²-mx+2m-1），m∈R
（Ⅰ）當m=0時，求f（x）的單調遞增區間；
（Ⅱ）若函數f（x）的值域是[lg2，+∞），求m的值；
（Ⅲ）若x∈[0，1]時不等式f（x）＞0恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

（Ⅰ）當m=0時，f（x）=lg（x²-1），設t=x²-1，
當x∈（1，+∞）時，t=x²-1遞增，而當t＞0時，y=lgt遞增
所以f（x）的遞增區間是（1，+∞）…（4分）
（Ⅱ）因為函數f（x）的值域是[lg2，+∞），依題意得t=x²-mx+2m-1的最小值是2，
解-

m2

4

+2m-1=2得m=2或m=6…（8分）
（Ⅲ）法一：當x∈[0，1]時，將x²-mx+2m-2＞0分離變量后得到

x2-2

x-2

＜m
令g(x)=

x2-2

x-2

，則g′(x)=

x2-4x+2

(x-2)2

，
令g′（x）=0得x=2±

2

…（11分）∴當0＜x＜2-

2

時g′（x）＞0，當2-

2

＜x＜1時g′（x）＜0
而x=2-

2

時取得最大值4-2

2

，∴m＞4-2

2

…（14分）
法二：依題意得：x²-mx+2m-2＞0，令h（x）=x²-mx+2m-2，軸是x=

m

2

（1）當

m

2

≤0時，則有f（0）=2m-2＞0，解得m∈Φ；
（2）當0＜

m

2

≤1時，則有△=m²-8m+8＞0，解得4-2

2

＜m≤2；
（3）當1＜

m

2

時，則有f（1）=m-1＞0，解得m＞2
綜上所求，實數m的取值范圍是（4-2

2

，+∞）
法三：將x²-mx+2m-2＞0移項得x²＞mx-2m+2，設f1(x)=x2，f₂（x）=mx-2m+2，
則f₁（x）、f₂（x）的圖象分別為右圖所示的一段拋物線和直線，要使對一切x∈[0，1]，f₁（x）＞f₂（x）恒成立，即要使得x∈[0，1]時，拋物線
段總在直線段的上方，因為直線恒過定點（2，2），可觀察
圖象得：直線的斜率必須大于相切時的斜率值，而相
切時的斜率可用判別式或導數易求得為4-2

2

，
所以m＞4-2

2

．…（14分）