Question

【題目】已知，函數(shù)，且曲線在處的切線與直線垂直.

（I）求函數(shù)在區(qū)間上的極大值；

（II）求證：當(dāng)時(shí)，

Answer 1

【答案】(I）極大值； (II)證明見(jiàn)解析

【解析】

（I）先根據(jù)條件解出，代入解析式可得，求導(dǎo)分析單調(diào)性即可求出極大值. （II）轉(zhuǎn)化得到，對(duì)不等式兩邊分別求最值比較大小.

（I）由題意，得直線的斜率為，

即曲線在處的切線的斜率為，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，

所以，解得

所以 ，

，所以，當(dāng)時(shí)，；

當(dāng) 時(shí)， ；當(dāng) 時(shí)， ；

所以函數(shù) 在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，

所以函數(shù)在區(qū)間上有唯一的極大值

（Ⅱ）由題得，即證明 ，

設(shè)，得 ，

當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，

當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在區(qū)間 上單調(diào)遞減，

所以當(dāng) 時(shí)，取最大值 ，

再令 ，則 ，

所以