Question

已知復數z₁=m+ni（m，n∈R），z=x+yi（x，y∈R），z₂=2+4i且z=

.

z1

i-z2．
（1）若復數z₁對應的點M（m，n）在曲線y=-

1

2

(x+3)2-1上運動，求復數z所對應的點P（x，y）的軌跡方程；
（2）將（1）中的軌跡上每一點按向量

a

=(

3

2

，1)方向平移

13

2

個單位，得到新的軌跡C，求C的軌跡方程；
（3）過軌跡C上任意一點A（異于頂點）作其切線，交y軸于點B，求證：以線段AB為直徑的圓恒過一定點，并求出此定點的坐標．

Answer 1

分析：（1）根據復數條件求出關系式

n=x+2 m=y+4

，結合復數z₁對應的點M（m，n）在曲線y=-

1

2

(x+3)2-1上運動即可得出復數z所對應的點P（x，y）的軌跡方程；
（2）先按向量

a

=(

3

2

，1)方向平移

13

2

個單位得到即為向 x 方向移動 1×

3

2

=

3

2

個單位，向 y 方向移動 1×1=1 個單位，再進行函數式的變換即可得出C的軌跡方程；
（3）設A（x₀，y₀），斜率為k，切線y-y₀=k（x-x₀） 代入（y+6）²=-2x-3消去x得到關于y的一元二次方程，再結合根的判別式為0利用向量的數量即可求得定點，從而解決問題．

解答：解：（1）∵

.

z1

i-z₂=（m-ni）•i-（2+4i）=（n-2）+（m-4）i；
∴

x=n-2 y=m-4

⇒

n=x+2 m=y+4

．
∵復數z₁對應的點M（m，n）在曲線y=-

1

2

(x+3)2-1上運動
∴x+2=-

1

2

（y+7）²-1⇒（y+7）²=-2（x+3）．
復數z所對應的點P（x，y）的軌跡方程：（y+7）²=-2（x+3）．
（2）∵按向量

a

=(

3

2

，1)方向平移

13

2

個單位，

( 3 2 ) 2+12

=

13

2

=1×

13

2

．
即為向 x 方向移動 1×

3

2

=

3

2

個單位，向 y 方向移動 1×1=1 個單位
（y+7）²=-2（x+3）⇒y+7=±

-2(x+3)

．
得軌跡方程 y+7=±

-2(x- 3 2 +3)

+1⇒（y+6）²=-2（x+

3

2

）=-2x-3．
C的軌跡方程為：（y+6）²=-2x-3．
（3）設A（x₀，y₀），斜率為k，切線y-y₀=k（x-x₀） （k≠0），
代入（y+6）²=-2x-3整理得：
（y+6）²=-2（

y-y 0

k

+x 0）-3，△=0⇒k=

x 0

2

，
設定點M（1，0），且

AM

•

BM

=0．
∴以線段AB為直徑的圓恒過一定點M，M點的坐標（1，0）．

點評：本小題主要考查拋物線的簡單性質、直線與圓的位置關系等基礎知識，考查運算求解能力，考查數形結合思想、化歸與轉化思想，本題巧妙地把點的軌跡方程和復數有機地結合在一起，解題時要注意復數的合理運用．