Question

【題目】橢圓：中，，，，的面積為1，．

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）設是橢圓上一點，、是橢圓的左右兩個焦點，直線、分別交于、，是否存在點，使，若存在，求出點的橫坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）存在，的橫坐標為或或．

【解析】

（Ⅰ）由三角形的面積公式可得，結合兩點的距離公式解得，，進而得到橢圓方程；

（Ⅱ）假設存在點，使，設，求得的坐標，過作軸的垂線交軸于，運用三角形的面積公式和三角形的相似性質，結合坐標運算，解方程可得所求值．

解：（Ⅰ）由題意可得，的面積為，

又，可得，解得，，

則橢圓的方程為；

（Ⅱ）假設存在點，使，

設，與軸交于，過作軸的垂線交軸于，

又，，

由，

可得，

即，

可得，則，

即，可得，或，

又，則或，

故存在，且的橫坐標為或或．