Question

【題目】如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，點M為A1C1的中點，點N為AB1上一動點.若點N為AB1的中點且CM⊥MN，求二面角MCNA的正弦值.

Answer 1

【答案】

【解析】

建立如圖2所示的空間直角坐標系，設AA1＝a，求出，由CM⊥MN，求出，分別求出平面ANC和平面MNC的法向量坐標，按照空間向量面面角公式，即可求解

以點A為坐標原點，AB所在直線為x軸，AC所在直線為y軸，

AA1所在直線為z軸建立如圖2所示的空間直角坐標系

設AA1＝a， 則A（0，0，0），C（0，2，0），

，

，

故，

.

設＝（x，y，z）為平面ANC的法向量，

則，

令x＝－1，得平面ANC的一個法向量為＝（－1，0，），

同理可得平面MNC的一個法向量為n＝（3，2，）.

則.

故二面角MCNA的正弦值為.