Question

如圖放置的正方形ABCD，AB=1，A，D分別在x，y軸的正半軸上（含坐標原點）滑動，則

OB

•

OC

的取值范圍是

[1，2]

．

Answer 1

分析：令∠OAD=θ，可得出B，C的坐標，由此可以表示出兩個向量，算出它們的數量積，即可求范圍．

解答：解：如圖令∠OAD=θ，θ∈[0，

π

2

]由于AD=1故0A=cosθ，OD=sinθ，
如圖∠BAX=

π

2

-θ，AB=1，故x_B=cosθ+cos（

π

2

-θ）=cosθ+sinθ，y_B=sin（

π

2

-θ）=cosθ，
故

OB

=（cosθ+sinθ，cosθ）
同理可求得C（sinθ，cosθ+sinθ），即

OC

=（sinθ，cosθ+sinθ），
∴

OB

•

OC

=（cosθ+sinθ，cosθ）•（sinθ，cosθ+sinθ）=1+sin2θ，
∵θ∈[0，

π

2

]，∴2θ∈[0，π]，sin2θ∈[0，1]，1+sin2θ∈[1，2]，
故

OB

•

OC

的取值范圍是[1，2]，
故答案為：[1，2]，

點評：本題考查向量在幾何中的應用，設角引入坐標是解題的關鍵，屬中檔題．