Question

（本小題滿分12分）
已知是邊長為2的等邊三角形，平面，，是上一動點．
（1）若是的中點，求直線與平面所成的角的正弦值；
（2）在運動過程中，是否有可能使平面？請說明理由．

Answer 1

（1）解：取AC中點E，AP的中點F，連結FE、BE、則FE∥PC，BE A C

∴FE面ABC
建立如圖所示的空間直角坐標系，則                                 
A(0,-1,0)   B(,0,0)  C(0,1,0)   P (0,1,)   F (0,1,)   …………2分
設是平面PBC的法向量，，則＝0，且＝0，∴且
取＝－1，＝－，＝0，則             …………4分
由題設是的中點，則D與F重合，即D的坐標為(0,1,)
∴
                           …………6分
∴直線BD與面PBC所成角正弦值為                         …………7分（2）(0,2,) (-,1,0)                      …………9分
20 ∴AP不垂直于BC
∴AP不可能垂直于面DBC，即不存在D點，使AP面DBC       …………12分

解析