Question

如圖，直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB=1，BC=2，，過A作AE⊥CD，垂足為E．F、G分別是CE、AD的中點．現將△ADE沿AE折起，使二面角D-AE-C的平面角為135°．
（1）求證：平面DCE⊥平面ABCE；
（2）求直線FG與面DCE所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】分析：（1）先證線線垂直，由線線垂直⇒線面垂直⇒面面垂直．
（2）作平面的垂線，得直線在平面內的射影，再在三角形中求解即可；
或利用向量的數量積公式，求直線向量與平面法向量夾角的余弦即為線面角的正弦．
解答：解：（1）證明：∵DE⊥AE，CE⊥AE，DE∩CE=E，DE，CE?平面CDE，∴AE⊥平面CDE，
∵AE?平面ABCE，∴平面DCE⊥平面ABCE．        
（2）（方法一）以E為原點，EA、EC分別為x，y軸，建立空間直角坐標系 
∵DE⊥AE，CE⊥AE，∴∠DEC是二面角D-AE-C的平面角，即∠DEC=135°，
∵AB=1，BC=2，，∴A（2，0，0），B（2，1，0），C（0，1，0），E（0，0，0），D（0，-1，1）．
∵F、G分別是CE、AD的中點，∴F，G，
∴=，=（-2，0，0），（11分）
由（1）知是平面DCE的法向量，
設直線FG與面DCE所成角，
則，
故求直線FG與面DCE所成角的正弦值為． 

（方法二）作GH∥AE，與DE相交于H，連接FH，
由（1）知AE⊥平面CDE，所以GH⊥平面CDE，∠GFH是直線FG與平面DCE所成角．
∵G是AD的中點，∴GH是△ADE的中位線，GH=1，，
∵DE⊥AE，CE⊥AE，∴∠DEC是二面角D-AE-C的平面角，即∠DEC=135°，
在△EFH中，由余弦定理得，FH²=EF²+EH²-2×EF×EH×cos∠FEH，∴，
∵GH⊥平面CDE，所以GH⊥FH，在Rt△GFH中，
∴直線FG與面DCE所成角的正弦值為．

點評：本題考查面面垂直的判定及直線與平面所成的角．求直線與平面所成的角有兩種思路：一是，通過作角--證角--求角；二是，利用向量數量積公式求解，直線向量與平面法向量夾角的余弦即為直線與平面所成角的正弦．