Question

如圖，直角梯形ABCD中，∠ABC=∠BAD=90°，AB=BC且△ABC的面積等于△ADC面積的．梯形ABCD所在平面外有一點P，滿足PA⊥平面ABCD，PA=PB．
（1）求證：平面PCD⊥平面PAC；
（2）側棱PA上是否存在點E，使得BE∥平面PCD？若存在，指出點E的位置并證明；若不存在，請說明理由．
（3）求二面角A-PD-C的余弦值．

Answer 1

【答案】分析：（1）證明平面PCD⊥平面PAC，只要證明CD⊥平面PAC，只要證明CD⊥AC、CD⊥PA即可；
（2）當E是PA的中點時，取PD的中點G，連接BE、EG、CG，證明四邊形BEGC是平行四邊形，利用線面平行的判定可證BE∥平面PCD；
（3）作FM⊥PD，連接CM，則可證∠CMF為二面角A-PD-C的平面角，求出FM、CM的長，即可得到二面角A-PD-C的余弦值．
解答：（1）證明：∵AB=BC且△ABC的面積等于△ADC面積的，∴AD=2BC
作CF⊥AD，垂足為F，則F為AD的中點，且AD=2CF，所以∠ACD=90°
∴CD⊥AC
∵PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，∴CD⊥PA
又∵PA∩AC=A，∴CD⊥平面PAC
∵CD?平面PCD，∴平面PCD⊥平面PAC；
（2）E是PA的中點
當E是PA的中點時，取PD的中點G，連接BE、EG、CG，則EG∥AD∥BC，EG=AD=BC
∴四邊形BEGC是平行四邊形
∴BE∥CG
∵BE?平面PCD，CG?平面PCD
∴BE∥平面PCD
（3）解：作FM⊥PD，連接CM，則
∵PA⊥平面ABCD，PA?平面PAD
∴平面PAD⊥平面ABCD
∵CF⊥AD，平面PAD∩平面ABCD=AD
∴CF⊥平面ABCD
∵FM⊥PD，∴CM⊥PD，
∴∠CMF為二面角A-PD-C的平面角
設CF=a，則在△PAD中，，∴FM=
∴CM=
∴二面角A-PD-C的余弦值為
點評：本題考查面面垂直，考查線面平行，考查面面角，解題的關鍵是掌握面面垂直、線面平行的判定定理，作出面面角．