Question

【題目】已知橢圓的焦距為，離心率為，其右焦點為，過點作直線交橢圓于另一點.

（Ⅰ）若，求的面積；

（Ⅱ）若過點的直線與橢圓相交于兩點、，設為上一點，且滿足（為坐標原點），當時，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）3或1（Ⅱ）或.

【解析】

（I）利用橢圓的焦距、離心率及即可得到橢圓的標準方程；設，利用向量的數量積及點滿足橢圓的方程即可得出點的坐標有兩種，分別利用三角形面積公式計算即可；（Ⅱ）設，，把直線的方程與橢圓方程聯立得到判別式△滿足的條件及其根與系數的關系，再利用向量的模的計算公式即可得出．

（Ⅰ）由題意知：，，又，

解得：，∴橢圓的方程為：

可得：，，設，則，，

∵，∴，即

由，或即，或

①當的坐標為時，，，且，

∴；

②當的坐標為時，，，所以為直角三角形，

，，

∴

綜上可知：或1.

（Ⅱ）由題意可知直線的斜率存在.設，，，

由得：

由得： ，

∵，∴即

∴，結合得：∵，∴

從而， ，

∵點在橢圓上，∴，整理得：

即，∴，或.