Question

橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的一個頂點為A（0，2），離心率e=

6

3

． 
（1）求橢圓的方程；
（2）直線l與橢圓相交于不同的兩點M，N且P（2，1）為MN中點，求直線l的方程．

Answer 1

分析：（1）先確定b=2，再結合離心率，即可求橢圓的方程；
（2）設出M，N的坐標，利用點差法，求得直線的斜率，即可求直線l的方程．

解答：解：（1）∵橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的一個頂點為A（0，2），
∴b=2．
∵e=

c

a

=

6

3

和a2-b2 =c2．
∴聯立上述方程可以解得a=2

3

．
∴橢圓的方程為

x2

12

+

y2

4

=1；
（2）設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則

x12

12

+

y12

4

=1，

x22

12

+

y22

4

=1
兩式相減，結合P（2，1）為MN中點，可得

4(x1-x2)

12

+

2(y1-y2)

4

=0
∴

y1-y2

x1-x2

=-

2

3

∴直線l的方程為y-1=-

2

3

（x-2），即2x+3y-7=0．

點評：本題考查橢圓的標準方程，考查直線與橢圓位置關系，考查點差法的運用，屬于中檔題．