Question

【題目】設橢圓的左、右焦點分別為、，上頂點為，過與垂直的直線交軸負半軸于點，且.

（1）求橢圓的離心率；

（2）若過、、三點的圓恰好與直線相切，求橢圓的方程；

（3）過的直線與（2）中橢圓交于不同的兩點、，則的內切圓的面積是否存在最大值？若存在，求出這個最大值及此時的直線方程；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2） ；（3）的內切圓的面積的最大值為，此時直線的方程為.

【解析】

試題分析：（1）由橢圓的幾何性質寫出點的坐標，，，由向量的坐標運算計算，由這個關系可解得；（2）外接圓圓心為斜邊的中點，半徑，由相切的性質得，求出，再由，求出即可；

（3）設的內切圓的半徑為，則的周長為，由此可得，設直線的方程為，與橢圓方程聯立得，由根與系數關系代入，換元令，轉化為，可知當時，有最大值，從而求出內切圓面積的最大值與相應的直線方程即可.

試題解析：（1）由題，為的中點.設，則，

，，由題，即，

∴即，∴.

（2）由題外接圓圓心為斜邊的中點，半徑，

∵由題外接圓與直線相切，∴，即，即，

∴，，，故所求的橢圓的方程為.

（3）設，，由題異號，

設的內切圓的半徑為，則的周長為，

，

因此要使內切圓的面積最大，只需最大，此時也最大，

，

由題知，直線的斜率不為零，可設直線的方程為，

由得，

由韋達定理得，，（）

，

令，則，，

當時，有最大值3，此時，，，

故的內切圓的面積的最大值為，此時直線的方程為.