Question

【題目】已知函數.

（Ⅰ）若函數在處取得極值，求實數的值；

（Ⅱ）在(Ⅰ)的條件下，函數 (其中為函數的導數)的圖像關于直線對稱，求函數單調區間；

（Ⅲ）在(Ⅱ)的條件下，若對任意的，都有恒成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）函數在區間上單調遞增，在區間上單調遞減；(Ⅲ) .

【解析】

試題分析：（Ⅰ）由，得；（Ⅱ）的圖象關于直線對稱，故函數為偶函數，解得，分別令，即可得到單調區間；（Ⅲ）對任意的，都有恒成立可轉化為在上恒成立，易知，∴在上恒成立，構造函數，只需即可.

試題解析：（Ⅰ）由有

因為在處取得極值，故

∴

經檢驗：當時，符合題意，故.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知：

∵的圖像關于直線對稱，故函數為偶函數

又

∴，解得

∴

∴

令有或

令有或

∴函數在區間上單調遞增，

在區間上單調遞減.

(Ⅲ)由(Ⅱ)知，對任意的，都有恒成立可轉化為

在上恒成立

易知∴在上恒成立

令，∴

令，∴

∴在上遞減，上遞增

∴

∴，即在上遞增

∴

∴.