Question

【題目】已知橢圓： 過點，且兩個焦點的坐標分別為， .

（1）求的方程；

（2）若， ， 為上的三個不同的點， 為坐標原點，且，求證：四邊形的面積為定值.

Answer 1

【答案】(1) ；(2)證明見解析.

【解析】【試題分析】(1)通過橢圓的定義求得,而,由此求得,進而求得橢圓方程.(2)設出直線的方程,聯立直線的方程和橢圓的方程,寫出韋達定理,代入,利用弦長公式求得,利用點到直線的距離公式求得原點到直線的距離,由此求得四邊形的面積.

【試題解析】

（1）由已知得，

∴，則的方程為；

（2）當直線的斜率不為零時，可設代入得：

，

設，則，

，

設，由，得

，

∵點在橢圓上，∴，即，∴，

，

原點到直線的距離為.

∴四邊形的面積： .

當的斜率為零時，四邊形的面積，

∴四邊形的面積為定值.