Question

【題目】長L的均勻彈性繩AB自由伸直地放在光滑水平桌面上，繩的A端固定。時，一小蟲開始從A端出發以相對其足下繩段的勻速度u在繩上朝B端爬去，同時繩的B端以相對桌面的勻速度v沿繩長方向運動，試求小蟲爬到B端的時刻。

附注：B端運動使繩各部分之間有相對運動，繩的整體不可作為小蟲運動的參考物，嚴格而言，不宜說“小蟲開始從A端出發以相對繩的勻速度u在繩上朝B端爬去”。但是可以說“……以相對其足下繩段的勻速度u在繩上朝B端爬去”，因為小蟲已按習慣模型化為質點，“其足下的繩段”當為無窮短繩段，無窮短時間內此繩段各部分間相對運動可略，故可取為該時刻附近小蟲爬行運動的“瞬時”參考系。

Answer 1

【答案】

【解析】

如圖所示,在原長的繩上建立從A到B的x坐標,A端,B端.設t時刻小蟲P處于x坐標上的x位置,此時繩的真實長度已成為，即已對應真實長度坐標的,繩中x坐標對應真實長度為 。

小蟲P相對其足下繩段不動,繩端B的運動會使有增量

。

因x不會變化,故對小蟲P爬繩無貢獻.再令繩端B不動,小蟲P相對其足下繩段運動,使的增量對應有的增量,其間關系為。

由此可得

即.。

方法2：法1中小蟲P隨繩端B相對桌面的真實運動量,與小蟲P爬繩相對桌面的真實運動量在同一方向,故不易區分。

本解法提供一種等效處理方法,將直長為L的繩彎曲成半徑為的相接圓環繩,如圖（a）所示,t時刻因繩端B運動,繩長增為,對應圖(b)中圓半徑增為.此過程中,原來小蟲P隨繩端B沿繩長方向的運動轉化為小蟲P的徑向朝外運動,而小蟲P的爬繩運動轉化為小蟲P的切向運動,兩個正交方向的運動截然分離.小蟲P從爬到,即到達繩端B.

參考圖中參量，有

，

，

即得。

如沒有題后的“附注”,那么,初次接觸此題的同學,恐怕很難理解小蟲在爬行過程中,相對于同時在伸長的繩上的運動情況.“解析1”是將繩的伸長與小蟲的運動分開描述、進行對比,詳盡地論述了這種相對運動;而“解析2”用等效的方式來處理這種運動,很容易讓人理解小蟲的爬行與繩子的伸長之間的關系,其獨到的解法,讓人領會到等效法的奇妙。