Question

【題目】在弗雷德·霍爾的一本小說的末尾，書中的英雄以高的洛侖茲系數和與銀河系平面成直角的方向飛行，他說他似乎在一個藍邊紅體的“金魚碗”內部朝碗口飛行，費曼用25張百元鈔票打賭說，來自銀河系的光看來不會是那樣.已知他相對銀河參考系的飛行速率v=0.99c，并觀察到他飛行方向與他和銀河系邊緣連線的夾角，如圖所示。

(1)試求在飛行者看來，來自銀河系邊緣的光的方向與他飛行方向之間的夾角；

(2)試求飛行者接收到的來自銀河系邊緣的光的頻率與實際發出的光的頻率之比；

(3)取不同的角計算和的值，以判定誰賭贏了？

Answer 1

【答案】（1） （2） （3）霍爾贏了

【解析】

(1)取銀河系為S系、飛行者為系，系相對S系以速度v沿x方向運動，如圖1所示。在S系中，來自銀河系邊緣的光的速度方向與x軸的夾角故光速沿x、y兩方向的分量分別為由速度變換公式，可得在S'，系中先速的兩個分量分別為（取）

設在系中此光速方向與軸的夾角為，有把和代入上式，得

，即

如圖表示了在飛行者看來銀河系的形狀，正如小說中英雄所描述的那樣像個“金魚碗”，且他正在向碗口飛行。

(2)根據光的多普勒效應公式，可得飛行者接收到的來思2自銀河系邊緣的光的頻率為

上式中為級河系邊嫁實際發出光的頻率. 與互為補角，如圖2所示，即有，把它以及代入上式，可得

從這一比率可見，飛行者看到來自銀河系邊緣的光發生了藍移現象，

（3）取，即，這時有

這是來自銀河系中心的光，在飛行者看來發生了紅移現象。

若取，這時有

，即處是個臨界角度。

若大于此角測充發生紅移，而日小于此角則光發生藍移，這就意味著越接近銀河系中心，發來的光紅移越明顯；而越接近銀河系邊緣，發來的光藍移越明顯。

當飛行者位于銀河系中心向外飛行時，來自銀河系邊緣的光，有

即。于是有

從此比率可見，飛行者越接近銀河系中心，則來自銀河系邊緣，光的藍移程度越大。綜上所述，霍爾在小說中描寫的飛行英雄說的話，即他在一個藍邊紅體的“會魚碗”內部朝著碗口飛行的描述基本是正確的，費曼賭輸了。