Question

【題目】在高能物理中，實(shí)驗(yàn)證明，在實(shí)驗(yàn)室參考系中，一個(gè)運(yùn)動(dòng)的質(zhì)子與一個(gè)靜止的質(zhì)子相碰時(shí)，碰后可能再產(chǎn)生一個(gè)質(zhì)子和一個(gè)反質(zhì)子，即總共存在三個(gè)質(zhì)子和一個(gè)反質(zhì)子。試求發(fā)生這一情況時(shí)，碰前那個(gè)運(yùn)動(dòng)質(zhì)子的能量（對實(shí)驗(yàn)室參考系）的最小值（即閾值）是多少？已知質(zhì)子和反質(zhì)子的靜止質(zhì)量都是。不考慮粒子間的靜電作用。

Answer 1

【答案】

【解析】

在討論本題之前，先看一下相對論能量和動(dòng)量的普遍關(guān)系式，即

。 ①

式中c為光在真空中的速度，m為粒子的質(zhì)量，p為其動(dòng)量，為靜止質(zhì)量。

此關(guān)系式可由能量

和動(dòng)量

導(dǎo)出，v為粒子的速度。

，

故。

由此關(guān)系式可知，對每一個(gè)粒子，其能量的平方與呈線性關(guān)系。下面討論本題。

從實(shí)驗(yàn)室參考系來看，碰前系統(tǒng)的總動(dòng)量等于運(yùn)動(dòng)的那個(gè)質(zhì)子的動(dòng)量，設(shè)其方向沿x軸正方向，碰撞前后系統(tǒng)的總動(dòng)量守恒，總能量守恒。若要碰后能存在三個(gè)質(zhì)子和一個(gè)反質(zhì)子且總能量為最小值，則可論證這四個(gè)粒子的動(dòng)量必定相等。

(1)先討論碰后四個(gè)粒子的動(dòng)量都沿x軸正方向的情況。

令、、、分別表示它們動(dòng)量的大小，這四個(gè)動(dòng)量中，若有任何兩個(gè)不相等，如，設(shè)。若將增加（）而將減少（這時(shí)總動(dòng)量不變），則有

，

.

這樣一來，第一個(gè)粒子能量的平方增加了，而第二個(gè)粒子能量的平方減少了，兩個(gè)粒子能量平方的凈增量為

因已設(shè)內(nèi)，且，所以凈增量是負(fù)的，總能量將減少。這就是說，設(shè)時(shí)對應(yīng)的總能量并不是最小值。由此可判斷，四個(gè)粒子的動(dòng)量必相等。

(2)若四個(gè)粒子中，有一個(gè)粒子其動(dòng)量沿x軸的負(fù)方向，因?yàn)榭倓?dòng)量守恒，則必有沿x軸正方向運(yùn)動(dòng)的另一粒子的動(dòng)量增加了，因?yàn)槟芰康钠椒脚c呈線性關(guān)系，所以這時(shí)的總能量必然大于沿x軸正方向運(yùn)動(dòng)時(shí)的能量。也就是說，只要四個(gè)粒子中，有沿x軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)的，則總能量必不是最小值。

(3)若四個(gè)粒子的動(dòng)量的方向不在同一直線上，這時(shí)將它們沿x軸方向和垂直于x軸方向分解，沿x軸方向總動(dòng)量守恒；垂直于x軸方向的動(dòng)量互相抵消，但它們卻使粒子的能量增大了，也就是說，這時(shí)的能量也不是最小值。

總結(jié)以上可見，要想碰后四個(gè)粒子的總能量最小，根據(jù)總動(dòng)量守恒、能量守恒及相對論能量和動(dòng)量關(guān)系式可知，碰后四個(gè)粒子的動(dòng)量必相等。

設(shè)碰前運(yùn)動(dòng)質(zhì)子的動(dòng)量為p，質(zhì)量為m，碰后四個(gè)粒子的動(dòng)量為、、和，四個(gè)粒子的質(zhì)量為、、和，根據(jù)動(dòng)量守恒和能量守恒，有

， ②

。 ③

由上面論述可知

。 ④

再由①式可知，碰后四個(gè)粒子的能量相等從而質(zhì)量必相等。以表示碰后四個(gè)粒子中每個(gè)粒子的質(zhì)量，由③式得

。 ⑤

對碰前那個(gè)運(yùn)動(dòng)的質(zhì)子，由相對論能量和動(dòng)量關(guān)系有

。 ⑥

對四個(gè)粒子中任一個(gè)粒子，由相對論能量和動(dòng)量關(guān)系有

。 ⑦

由⑤⑥⑦式可得

。 ⑧

代入數(shù)據(jù)得

。 ⑨