Question

【題目】有一種假設(shè)，星球由星球之間的介質(zhì)（宇宙塵埃）在引力作用下經(jīng)壓縮方式而形成.估算由宇宙塵埃的巨大球團(tuán)組成星球的時(shí)間.可以認(rèn)為壓縮時(shí)微粒互不超越.宇宙塵埃的密度，萬有引力恒量.

Answer 1

【答案】

【解析】

研究離球團(tuán)中心處球團(tuán)塵埃的微粒.它只受到位于半徑為的球內(nèi)微粒的引力作用.據(jù)題意，微粒互不超越，吸引該微粒的總質(zhì)量保持不變.設(shè)想其全部質(zhì)量集中在團(tuán)中心，于是問題歸結(jié)為尋找微粒落到引力中心的時(shí)間.

我們將微粒向中心的運(yùn)動(dòng)看作是沿十分扁長橢圓運(yùn)動(dòng)的極限情況，橢圓長半軸為，并將該運(yùn)動(dòng)與半徑為的圓軌道轉(zhuǎn)動(dòng)相比較.應(yīng)用開普勒第三定律：

，

式中為沿圓周軌道運(yùn)動(dòng)周期，為沿橢圓軌道運(yùn)動(dòng)周期.根據(jù)牛頓第二定律以及萬有引力定律不難求出周期：

，，

由此，.

我們得到，周期與無關(guān).因此，微粒落到引力中心的時(shí)間（星球形成時(shí)間），為沿橢圓軌道轉(zhuǎn)動(dòng)周期的一半，與宇宙塵埃團(tuán)的半徑無關(guān)，且

年.

本題的第一個(gè)要點(diǎn)是應(yīng)注意到每個(gè)微粒在互不超越的前提下，它只受到位于半徑為的球內(nèi)微粒的引力作用，這是平方反比的有心力；第二則是粒子的運(yùn)動(dòng)雖是直線，但仍應(yīng)視為橢圓，且引力中心不是這一線段的中點(diǎn)，而是一個(gè)端點(diǎn).很多同學(xué)會(huì)依據(jù)對(duì)稱認(rèn)為引力中心是軌道的中點(diǎn)，這是違背開普勒定律的.

天體在有心引力作用下的運(yùn)動(dòng)，依據(jù)開普勒定律，其軌跡應(yīng)為橢圓，但我們應(yīng)該注意到，圓（半長軸與半短軸相等，都等于圓的半徑，焦點(diǎn)為圓心）與直線段（半短軸為零，線段長為長軸，焦點(diǎn)在線段的端點(diǎn)）是橢圓的兩個(gè)極端的特例，當(dāng)天體做與此相關(guān)的運(yùn)動(dòng)時(shí)，同樣也是遵循開普勒定律的.以直線段為背景的天體運(yùn)動(dòng)在競(jìng)賽中較為常見，應(yīng)注意練習(xí).