Question

【題目】在平面內分布著某種透明光學材料，已知折射率分布，為點到原點的距離，在距原點處的A點有一點光源，若從此點光源發出的光在該材料中，沿以為焦點的圓錐曲線傳播，求折射率的分布規律，已知.

Answer 1

【答案】 其中

【解析】

以為原點，軸為極軸建立極坐標.將平面以極點為中心，分成一個個同心薄圓環，寬度，如圖所示，則每個圓環區城內的折射率相同，由折射定律有

，

，

，

根據正弦定理，又有.

由以上各式可以得出，

即常數，與角動量守恒定律表達式：常矢量，有相似之處，可將類比于動量，則類比于動能.

在平方反比引力下，質點運動的動能為.

為總能量，為常數，且.

勢能函數為（為常數），所以，.

由類比，得到（為常數）所以，.

令，而，

此時，A為半長軸，即，

其中軌跡方程為，則.

代入解得，即，其中.

本題同樣是光在非均勻介質中的傳播，其軌跡給定為圓錐曲線，其解答是類比法的經典之作，讀者應認真研究.類比思維在處理物理問題中有很高的地位，它要求問題的處理者能清醒地認識到不同領域的問題間存在相同或類似的物理或數學規律，可以將我們所熟悉的方法或結論遷移到需要研究的領域中.這類思維方法在競賽中有著廣泛的應用，讀者可以作相應的歸類分析、應用。