Question

【題目】如圖所示，一個質量為，半徑為、厚度為（）的勻質環形導體圓盤可繞通過盤心且垂直盤面的金屬軸轉動，金屬軸的電阻可忽略.圓盤上距盤心處的電阻率與成正比，即，為常量.整個環形圓盤處在與環面垂直的恒定勻強磁場中，磁感應強度的大小為.轉軸與圓盤邊緣通過電刷與理想電感連成閉合回路.一切摩擦均不計.

（1）現用一恒定的外力矩作用于圓盤，使它由靜止開始轉動，求當圓盤轉動達到穩定時，圓盤轉動的角速度和通過電感的電流.

（2）在圓盤轉動達到穩定后，突然撤去外力矩，求以后通過電感的電流隨時間的變化方程式.

Answer 1

【答案】（1），

（2）

【解析】

（1）先求圓盤的電阻，取半徑為，寬為的小環帶，有

，

所以， ①

圓盤以角速度轉動時產生電動勢，大小為

. ②

穩定時磁力矩，電流可由式得①②式得

, ③

. ④

穩定時，有

. ⑤

由①③④⑤式得

， ⑥

. ⑦

（2）撤去外力矩，角速度為時電流為，電動勢為

. ⑧

對回路有. ⑨

由轉動定律有

， ⑩

所以.

由⑧⑨式得

,

所以.

由⑩式得

.

故撤去外力矩后電流隨時間的變化方程為

.

對于中學物理競賽試題，我們并不能奢望它只涉及中學物理教學的內容.實際上，新的競賽大綱所要求的內容越來越接近普通物理的內容，加之不再回避微積分的應用，這實際上已經突破了中學物理與大學物理的傳統分界線.

中學物理涉及的物理基本規律與大學物理并沒有什么大的差別，從中學物理到大學物理是一個螺旋上升的過程，這種上升更多地體現在研究手段與數學知識的運用上，當然，也不排除需要新增更多的知識內容.

本題要求給出電流隨時間變化的方程式，其結果是二階微分方程，其解答顯然在中學階段是無法完成的，但推導這一方程的過程我們很難說是大學物理還是中學物理.