Question

【題目】假設火箭不受外力作用，火箭初始質量為，初始速度為零，設所有燃料用完時火箭質量為，氣體以相對火箭為的速率向后噴射出去，求火箭燃料用完時的速率，若考慮重力的影響，為多少？

Answer 1

【答案】,若考慮重力

【解析】

取x軸平行于火箭軌道并指向運動前方，則

。

在所取的坐標軸中，的投影為，把代入密舍爾斯基方程，并化為一維方程，得

，

改為。

兩邊積分，并把已知條件時，質量為，燃料用完時，質量為代入積分上、下限，得

，

解得。

由上式可見，要提高火箭的速率，應提高噴射速率或質量比，但由于火箭上需裝備儀器設備，存放燃料也需要容器，所以不可能太小，一般約為6，另外，也受到一定限制，通常可達2～3km/s，所以用一級火箭時v達不到第一宇宙速度（～8km/s），一般發射人造衛星或宇宙飛船必須用多級火箭。

當考慮地球的引力時，設火箭在加速過程中引力不變，則有

，即，

各項分別積分得

，

得。

與不受重力的情況相比，火箭所能達到的速度降低了這降低的部分稱為速度損失，速度損失與噴射氣體的時間成正比。噴射時間越短，速度損失越小。