Question

【題目】如圖所示，質量為、半徑為的圓筒垂直放置在光滑水平面上，質量為的小球從圓筒頂部沿圓筒內壁的螺旋槽無摩擦地下滑，筒高正好等于螺距，即小球沿筒壁繞一周時正好到達筒底.開始時，小球和圓筒均靜止不動.

（1）試分析小球下滑過程中圓筒的運動；

（2）試求小球相對地面參考系所走過的路程.

Answer 1

【答案】（1）小球下滑過程中圓筒的運動是筒心繞質心做半徑為、角速度為的圓運動，同時圓筒繞筒心的轉動角速度為，“”表示圓筒自轉的繞行方向與系統繞質心的繞行方向相反.

（2）

【解析】

（1）以小球與圓筒作為一個系統，初始靜止，又不受水平外力作用，所以，系統質心在水平面上的投影始終不動，筒心和小球在水平方向上的運動滿足動量守恒，即

.

圓筒和小球各自運動的半徑為

，，

如圖乙所示.

筒心和小球繞系統質心轉動的角速度分別為

，

.

設圓筒繞筒心轉動的角速度為，則由系統角動量守恒有

，

即.

所以，.

結論：小球下滑過程中圓筒的運動是筒心繞質心做半徑為、角速度為的圓運動，同時圓筒繞筒心的轉動角速度為，“”表示圓筒自轉的繞行方向與系統繞質心的繞行方向相反.

（2）先討論小球的運動.

小球相對于地面的角速度——絕對角速度為；圓筒相對于筒心轉動的角速度——相對角速度為.設小球相對于圓筒的角速度為，則

，

所以，.

如圖丙所示，設小球最終相對于地轉過的角度為，則

，所以.

將小球的下滑等效為斜面模型，如圖丁所示.

由圖丁可知

.

本題是角動量守恒問題中較為典型的例題，題中小球對系統質心的角動量及圓筒對系統質心的角動量都不難理解，但圓筒繞圓心轉動的角動量是隱性的，很容易被忽略.

此外，小球下滑的軌跡是一空間螺旋線，對其軌跡進行描述比較復雜，而選擇俯視與沿圓筒柱面展開，則其軌跡特征清晰可見.

將空間問題轉化為平面問題，這是一種降維思維，在處理空間問題中極為有效.至于在具體的操作中選擇什么方位的投影，則需要根據自己的經驗臨場處理.