Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=|x+a﹣1|+|x﹣2a|．
（1）若f（1）＜3，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）若a≥1，x∈R，求證：f（x）≥2．

Answer 1

【答案】
（1）解：因?yàn)閒（1）＜3，所以|a|+|1﹣2a|＜3．

①當(dāng)a≤0時，得﹣a+（1﹣2a）＜3，

解得a＞﹣ ，所以﹣ ＜a≤0；

②當(dāng)0＜a＜ 時，得a+（1﹣2a）＜3，

解得a＞﹣2，所以0＜a＜ ；

③當(dāng)a≥ 時，得a﹣（1﹣2a）＜3，

解得a＜ ，所以 ≤a＜ ；

綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍是（﹣ ， ）

（2）解：因?yàn)閍≥1，x∈R，

所以f（x）=|x+a﹣1|+|x﹣2a|≥|（x+a﹣1）﹣（x﹣2a）|=|3a﹣1|=3a﹣1≥2

【解析】（1）根據(jù)函數(shù)值的取值范圍列出不等式，再對a進(jìn)行分類討論去掉絕對值進(jìn)行解不等式，進(jìn)而求得實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）利用基本不等式：|a|+|b|≥|a﹣b|，證得所給不等式成立.
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用絕對值不等式的解法的相關(guān)知識可以得到問題的答案，需要掌握含絕對值不等式的解法：定義法、平方法、同解變形法，其同解定理有；規(guī)律：關(guān)鍵是去掉絕對值的符號．