Question

【題目】從1，2，3，…，2050這2050個數中任取2018個組成集合，把中的每個數染上紅色或藍色，求證：總存在一種染色方法，使得有600個紅數及600個藍數滿足下列兩個條件：

①這600個紅數的和等于600個藍數的和；

②這600個紅數的平方和等于這600個藍數的平方和.

Answer 1

【答案】(1)見解析(2)見解析

【解析】

證明一：注意到.且 .則，且

把中的，，，型數染成紅色，

，，，型數染成藍色。

因為，所以.

構造257個抽屜，第個抽屜放置形如“, ,,,,,”的數，.第257個抽屜放置中大于2048的數（最多2個數）.

2050個數中任取2018個數按要放入抽屜，至少填滿224個抽屜（放入了8個數），224個填滿數的抽屜每個抽屜都是4個紅數和4個藍數，其和相等且平方和相等。

取224個抽屜中的150人，，共600個紅數與600個藍數，也有和相等，且平方和相等.

即存在600個紅數與600個藍數，這600個紅數與個藍數的和相等，且平方和相等。

證明二：注意到，且.

則，

且

把中的，，，型數染成紅色。

，，型數染成藍色。

因為，所以.

構造293個抽屜，時，抽屜放置集合中不超過6的數，其余的第個抽屜放置形如，， ，，，型數，.

2050個數中的任取2018個數按要求放入抽屜，至少填滿260個抽屜（放入了7個數），260個填滿數的抽屜中每個抽屜都是4個紅數和3個藍數，取，，型3個紅數和3個藍數，其和相等且平方和相等。

取260個抽屜中的200個，，共600個紅數與600個藍數，也有和相等，且平方和相等。

即存在600個紅數與600個藍數，這600個紅數與600個藍數的和相等，且平方和相等。