Question

【題目】 已知拋物線y=x2+bx+c經過點A（-2，0），B（0，-4）與x軸交于另一點C，連接BC．

（1）求拋物線的解析式；

（2）如圖，P是第一象限內拋物線上一點，BP交x軸于點E，且S△PBO=S△PBC，求證：E是OC的中點；

（3）在（2）的條件下求點P的坐標．

（4）在（2）的條件下拋物線上是否存在點D，使△ACD的面積與△ABP的面積相等？若存在，請求出點D的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=x2-x-4；（2）見解析；（3）P（6，8）；（4）存在，D點坐標為（6，8）或（-4，8）

【解析】

（1）利用待定系數法求拋物線的解析式；

（2）令y=0求拋物線與x軸的交點C的坐標，作△POB和△PBC的高線，根據面積相等可得OG=CF，證明△OEG≌△CEF，得OE=CE，則E是OC的中點；

（3）可得OE=CE=2，根據三角函數列式可得P的坐標；

（4）根據S△ABP=S△AEP+S△AEB可求出△ABP的面積，則面積相等可求出點D的縱坐標，代入拋物線解析式可得D點的坐標．

解：（1）把點A（-2，0），B（0、-4）代入拋物線y=x2+bx+c中得：

，

解得：，

∴拋物線的解析式為y=x2-x-4；

（2）當y=0時，x2-x-4=0，

解得：x=-2或4，

∴C（4，0），

如圖1，過O作OG⊥BP于G，過C作CF⊥BP于F，

∵S△PBO=S△PBC，

∴，

∴OG=CF，

∵∠OEG=∠CEF，∠OGE∠CFE，

∴△OEG≌△CEF（AAS），

∴OE=CE，

即E是OC的中點；

（3）設P（x，x2-x-4），如圖2，過P作PM⊥y軸于M，

tan=，

∴BM=2PM，

∴4+x2-x-4=2x，

x2-6x=0，

x1=0（舍），x2=6，

∴P（6，8），

（4）∵OE=2，OA=2，

∴AE=OA+OE=4，

∴S△ABP=S△AEP+S△AEB==24，

∵AC=6，△ACD的面積與△ABP的面積相等，

∴，

∴|yD|=8，

∴yD=±8，

當時，

解得x1=6，x2=-4，

∴D1（6，8），D2（-4，8），

當時，方程沒有實數根，

綜合可得D點坐標為（6，8）或（-4，8）．