Question

演繹式探究：
由于流體的粘滯性，使得在流體中運(yùn)動(dòng)的物體要受到流體阻力f．在一般情況下，半徑為R的小球以速度v運(yùn)動(dòng)時(shí)，若用η表示流體的粘滯系數(shù)，則所受的流體阻力可用公式 f=6πηRv表示．
（1）小球在流體中運(yùn)動(dòng)時(shí)，速度越大，受到的阻力

越大

．
（2）密度為ρ、體積為V₀的小球在密度為ρ₀、粘滯系數(shù)為η的液體中由靜止自由下落時(shí)的v-t圖象如圖所示．小宇查找相關(guān)的資料書，獲知球的體積V與半徑R之間的數(shù)學(xué)關(guān)系為V=

4

3

πR3，請推導(dǎo)出速度v_T的數(shù)學(xué)表達(dá)式：v_T=

2R2g(ρ-ρ0)

9η

．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)公式f=6πηRv，來分析阻力f與速度v的關(guān)系．
（2）對小球進(jìn)行受力分析，它在流體中下落受到重力、浮力和阻力的作用．由圖形分析可知，當(dāng)小球速度達(dá)到v_r時(shí)便勻速下落，處于平衡狀態(tài)，G=F_浮+f．將數(shù)據(jù)代入公式化簡即可．

解答：解：
（1）由公式f=6πηRv可以看出，小球所受流體的阻力f與小球的速度v成正比例關(guān)系，所以，小球速度越大，所受阻力越大．
（2）小球在流體中下落時(shí)受重力、浮力和阻力的作用．
小球受到的重力：G=mg=ρVg=

4

3

πR³ρg；
小球所受浮力：F_浮=ρ₀Vg=

4

3

πR³ρ₀g；
小球所受流體阻力：f=6πηRv．
由圖象可知，當(dāng)小球速度達(dá)到v_r時(shí)便勻速下落，處于平衡狀態(tài)，此時(shí)小球所受合力為零，則G=F_浮+f．
即：

4

3

πR³ρg=

4

3

πR³ρ₀g+6πηRv_r．
化簡可得：v_r=

2R2g(ρ-ρ0)

9η

．
故答案為：（1）越大；（2）

2R2g(ρ-ρ0)

9η

．

點(diǎn)評：本題實(shí)際上是一道大型的計(jì)算題，并且計(jì)算公式是課本上沒有接觸到的，題目的難度較大，它考查了學(xué)生的自學(xué)能力以及對新知識(shí)的整合能力、計(jì)算能力等各方面的能力．