Question

20．歸納是探究：
我們知道，彈簧受到的拉力越大，彈簧伸長的長度就越大．但是，用同樣大小的力去拉兩只不用的彈簧，伸長的長度不同，這說明彈簧有“軟”、“硬“之分，容易被拉伸的彈簧比較軟，反之比較硬．彈簧的軟硬用它的剛性系數(shù)來表示．剛性系數(shù)越大，彈簧越硬．
為了研究彈簧的剛性系數(shù)與哪些因素有關，通過有關實驗探究，取得數(shù)據(jù)如下（其中：S為制造彈簧的金屬絲的橫截面積，n為彈簧的匝數(shù)，r為彈簧的半徑，A為彈簧的剛性系數(shù)）

實驗	材料	S/m2	n/匝	r/m	A（N•m-1）
1	銅	3×10-6	100	1×10-2	90
2	鋼	3×10-6	100	1×10-2	180
3	銅	6×10-6	100	1×10-2	360
4	鋼	3×10-6	200	1×10-2	90
5	銅	6×10-6	100	2×10-2	45

（1）A=k$\frac{{S}^{2}}{n{r}^{3}}$，其中k與制造彈簧的材料有關，材料不同，k值一般不同．上述實驗中銅的k值k=10⁹N/m²（填上數(shù)值和單位）．
（2）用粗細不同的銅絲做成半徑相同和匝數(shù)都相同的彈簧，則彈簧的剛性系數(shù)和橫截面積的關系可以用圖象中的圖線a表示．
（3）如果用粗細相同的銅絲和鋼絲做成匝數(shù)和半徑相同的彈簧，都用10N的力拉伸時，用銅做成的彈簧變得更長．
（4）用橫截面積為2×10^-6m²的銅絲制成一個半徑為1×10^-2m、剛性系數(shù)為100N/m的彈簧，則該彈簧的匝數(shù)為80．

Answer 1

分析 （1）實驗中主要有四個變量，分別為材料、橫截面積、彈簧匝數(shù)和彈簧的半徑，根據(jù)控制變量法的要求，分別比較實驗1、3數(shù)據(jù)，實驗3、5數(shù)據(jù)，可分析出橫截面積、彈簧的半徑與A的關系，再利用前面求得的橫截面積與A的關系式，求得當實驗1中的橫截面積變?yōu)楹蛯嶒?中的橫截面積相同的A，與實驗4進行比較得出彈簧匝數(shù)與A的關系，最終歸納出表達式，并利用表達式計算出銅的k值；
（2）通過剛性系數(shù)的表達式，可以看出，彈簧的剛性系數(shù)和和橫截面積為正比例函數(shù)關系，因此，a是符合題意的；
（3）通過表格可以看出銅與鋼誰的剛性系數(shù)更大，再根據(jù)相同條件下，剛性系數(shù)越大的彈簧越難被拉伸這一規(guī)律可做出判斷；
（4）利用歸納得出的公式求出鋼制造的彈簧的k值，將數(shù)據(jù)代入進行計算可得出該彈簧的匝數(shù)．

解答 解：（1）由題意和表格可知，彈簧的剛性系數(shù)A與制造彈簧的金屬絲的材料、金屬絲的橫截面積S、彈簧的匝數(shù)n、彈簧的半徑r有關；
①根據(jù)控制變量法，要研究彈簧的剛性系數(shù)A與制造彈簧的金屬絲的橫截面積S的關系，要使制造彈簧的材料、彈簧的匝數(shù)n、彈簧的半徑r相同，改變金屬絲的橫截面積S，應選擇表格中的實驗1、實驗3，
分析數(shù)據(jù)可知，實驗1中金屬絲的橫截面積S為3×10^-6m²，實驗3中金屬絲的橫截面積S為6×10^-6m²，實驗3中金屬絲的橫截面積是實驗1中金屬絲的橫截面積的2倍，
彈簧的剛性系數(shù)A由90N•m^-1變?yōu)?60N•m^-1，實驗3中彈簧的剛性系數(shù)是實驗1中彈簧的剛性系數(shù)的4倍，
則當其他因素相同時，彈簧的剛性系數(shù)A與金屬絲的橫截面積S的關系可表示為A=k₁S²；
②根據(jù)控制變量法，要研究彈簧的剛性系數(shù)A與彈簧的半徑r的關系，要使制造彈簧的材料、金屬絲的橫截面積S、彈簧的匝數(shù)n，改變彈簧的半徑r，應選擇表格中的實驗3、實驗5，
分析數(shù)據(jù)可知，實驗3中彈簧的半徑r為1×10^-2m，實驗3中彈簧的半徑r為2×10^-2m，實驗5中彈簧的半徑r是實驗3中彈簧的半徑r的2倍，
彈簧的剛性系數(shù)A由360N•m^-1變?yōu)?5N•m^-1，實驗5中彈簧的剛性系數(shù)是實驗3中彈簧的剛性系數(shù)的$\frac{1}{8}$，
則當其他因素相同時彈簧的剛性系數(shù)A與彈簧的半徑r的關系可表示為A=k₂ $\frac{1}{{r}^{3}}$；
③分析實驗2，若其他因素保持不變，S由3×10^-6m²增大為原來的兩倍變?yōu)?×10^-6m²，根據(jù)①中推導出的則當其他因素相同時，彈簧的剛性系數(shù)A與金屬絲的橫截面積S的關系表示式A=k₁S²可知，彈簧的剛性系數(shù)A應由由180N•m^-1增大為原來的4倍變?yōu)?20N•m^-1，
即可得到如下數(shù)據(jù)：鋼制造彈簧的金屬絲的橫截面積S為6×10^-6m²，彈簧的匝數(shù)n為100，彈簧的半徑r為1×10^-2m，彈簧的剛性系數(shù)為720N•m^-1，
實驗4與以上數(shù)據(jù)比較，其他因素保持不變，彈簧的匝數(shù)n有原來的100變?yōu)閷嶒?中的200，為原來的2倍，彈簧的剛性系數(shù)A由720N•m^-1變?yōu)?60N•m^-1，變?yōu)樵瓉淼?\frac{1}{2}$，則當其他因素相同時彈簧的剛性系數(shù)A與彈簧的匝數(shù)n的關系可表示為A=k₃ $\frac{1}{n}$；
綜合①②③可知，彈簧的剛性系數(shù)A的表達式為A=k$\frac{{S}^{2}}{n{r}^{3}}$；
取任意一組銅制造的彈簧的實驗數(shù)據(jù)代入彈簧的剛性系數(shù)A的表達式，以實驗1數(shù)據(jù)代入為例，
90N/m=k_銅 $\frac{（3×1{0}^{-6}{m}^{2}）^{2}}{100×（1×1{0}^{-2}m）^{3}}$，解得k_銅=10⁹N/m²；
（2）用粗細不同的銅絲做成半徑相同和匝數(shù)都相同的彈簧，由（1）③可知，彈簧的剛性系數(shù)和橫截面積的關系式為A=k₃ $\frac{1}{n}$，為反正例函數(shù)關系，可以用如圖中的圖線a表示；
（3）比較實驗數(shù)據(jù)1、2，當金屬絲的橫截面積S、彈簧的匝數(shù)n、彈簧的半徑r均相同時，銅的剛性系數(shù)小于鋼的剛性系數(shù)，
即用粗細相同的銅絲和鋼絲做成匝數(shù)和半徑相同的彈簧，都用10N的力拉伸時，用銅做成的彈簧變得更長；
（4）由（1）可知，彈簧的剛性系數(shù)A的表達式為A=k$\frac{{S}^{2}}{n{r}^{3}}$，
取任意一組鋼制造的彈簧的實驗數(shù)據(jù)代入彈簧的剛性系數(shù)A的表達式，以實驗2數(shù)據(jù)代入為例，
180N/m=k_銅 $\frac{（3×1{0}^{-6}{m}^{2}）^{2}}{100×（1×1{0}^{-2}m）^{3}}$，解得k_鋼=2×10⁹N/m²，
則鋼制造的彈簧的剛性系數(shù)A的表達式為A=2×10⁹N/m² $\frac{{S}^{2}}{n{r}^{3}}$，
將數(shù)據(jù)代入得，100N/m=2×10⁹N/m² $\frac{{（2×1{0}^{-6}{m}^{2}）}^{2}}{n（1×1{0}^{-2}m）^{3}}$，
解得，n=80．
故答案為：（1）$\frac{{S}^{2}}{n{r}^{3}}$；10⁹N/m²；（2）a；（3）銅；（4）80．

點評 本實驗中的變量比較多，在分析數(shù)據(jù)時，必須在保證其他變量不變的情況下，依次分析其中的一個變量與剛性系數(shù)之間的關系，最終綜合成公式的形式，有了剛性系數(shù)的公式，剩余的問題基本要從公式入手進行分析和計算，本題的難點在于當有兩個變量均改變時，如何研究其中的一個變量與剛性系數(shù)之間的關系，我們可以通過前面的關系式，推導得出一組新的只有一個變量改變的實驗數(shù)據(jù)再進行分析比較．