Question

如圖所示，質量為70kg的工人站在岸邊通過一滑輪組打撈一塊沉沒在水池底部的石材，該滑輪組中動滑輪質量為5kg．當工人用120N的力拉滑輪組的繩端時，石材仍沉在水底不動．工人繼續增大拉力將石材拉起，在整個提升過程中，石材始終以0.2m/s的速度勻速上升．在石材還沒有露出水面之前滑輪組的機械效率為η₁，當石材完全露出水面之后滑輪組的機械效率為η₂．在石材脫離水池底部至完全露出水面的過程中，地面對人的支持力的最大值與最小值之比為29：21．繩重及滑輪的摩擦均可忽略不計，石材的密度ρ_石=2.5×10³kg/m³，取g=10N/kg，求：
（1）與打撈前相比，當人用120N的力拉繩端時，水池底部對石材的支持力變化了多少；
（2）η₁與η₂的比值；
（3）當石材完全露出水面以后，人拉繩子的功率．

Answer 1

解：（1）人用120N的力拉繩端前后對人和動滑輪受力分析如圖1、2、3所示：

池底部對石材的支持力的變化等于滑輪組下端繩子拉石材的拉力變化：
△F_支=T=3F-G_動=3×120N-50N=310N；
（2）石材浸沒在水中時，對動滑輪受力分析如圖4所示：

人拉繩端的力F_拉1=，
其中石材所受浮力F_浮=ρ_水gV_排=ρ_水，
石材在空氣中時，受力分析如圖5所示：
人拉繩端的力F_拉2=，
設石材浸沒在水中被拉起時地面對人的最大支持力為N₁，石材在空氣中時地面對人的最小支持力為N₂，

所以對于石材浸沒在水中和在空氣中分別有
G_人=N₁+F_拉1′，G_人=N₂+F_拉2′，
因為F_拉1′與F_拉1大小相等，F_拉2′與F_拉2大小相等，且N₁：N₂=29：21，
代入數據解得：G_石=1000N，F_浮=400N，
石材浸沒在水中時滑輪組的機械效率η₁=，
石材完全露出水面之后滑輪組的機械效率η₂=，
所以=×=×=；
（3）人拉繩的功率：P=F_拉2×nv=（G_物+G_動）v_物=（1000N+50N）×0.2m/s=210W．
答：（1）與打撈前相比，當人用120N的力拉繩端時，水池底部對石材的支持力變化了310N；
（2）η₁與η₂的比值為63：65；
（3）當石材完全露出水面以后，人拉繩子的功率為210W．
分析：（1）人用120N的力拉繩端前后對人和動滑輪受力分析可知池底部對石材的支持力的變化等于滑輪組下端繩子拉石材的拉力變化，進一步求出其大小．
（2）對浸沒和完全露出水面的石塊、地面上的人分別受力分析，根據力的平衡得出等式；浸沒時石塊的體積和排開液體的體積相等，根據G=mg、密度公式和阿基米德原理表示出受到的浮力；根據相互作用力之間的關系求出石塊的重力和受到的浮力，最后根據η===求出η₁、η₂的大小，進一步求出兩者的比值．
（3）由W=Fs和P=可知人拉繩子的功率P===Fnv_物，再利用已知條件求出其大小．
點評：本題考查了重力、密度公式、阿基米德原理、機械效率、功率等的計算，難點是求動滑輪的重力和石塊浸沒時的浮力，關鍵是對各個物體進行受力分析，這是解決本題的重中之重．