Question

【題目】如圖所示，足夠大圓柱形空容器A放在水平桌面上。在容器A底部固定一輕質彈簧，原長為L0；彈簧上端連有底面積為S0，高為h0的小圓柱形空容器B，制成容器B的材料密度為ρ0。小圓柱形容器B豎直壓在彈簧上且不與A容器壁接觸，此時彈簧的長度為L1。現往空容器A中緩慢加水，當彈簧的伸長量達到最大時，繼續向容器A中加水，直至彈簧的變化量不再改變，上述過程中彈簧始終在豎直方向伸縮，且始終在彈性限度內。請你計算并（水的密度ρ水，不計彈簧的體積）

（1）小容器B的質量多大；

（2）向空容器A中緩慢加水，當彈簧的伸長量達到最大時，彈簧的最大伸長量是多少；

（3）當繼續向容器A中加水，直至彈簧的變化量不再改變時，彈簧處于伸長狀態還是壓縮狀態，或者是保持原長不變？

Answer 1

【答案】（1）（2）

（3）當ρ水＞ρ0時，F浮＞GB，彈簧處于伸長狀態；

當ρ水＜ρ0時，F浮＜GB，彈簧處于壓縮狀態；

當ρ水=ρ0時，F浮=GB，彈簧保持原長。

【解析】

根據題中“現往空容器A中緩慢加水，當彈簧的伸長量達到最大時，……請你計算并分析”可知，本題考查阿基米德原理和受力平衡的分析，關鍵是彈簧拉力的應用和容器B的受力分析，根據阿基米德原理和平衡條件列式計算。

（1）未加水前，容器B處于靜止狀態，根據力的平衡條件可得：GB=F，

彈力的表達式為，容器B壓縮彈簧（此時彈簧的長度為L1），則

，所以GB=F=k(L0-L1)，則

。

（2）往空容器A中緩慢加水，當彈簧的伸長量達到最大時，彈簧對容器B向下的拉力最大，容器B受到的浮力也達到最大。此時容器B排開水的體積：V排=S0h0，

最大浮力：，

彈簧的最大拉力：。

根據容器B受力平衡可得： F浮最大=F拉+GB

即，

所以，此時彈簧的伸長量

（3）當彈簧的伸長量達到最大時，繼續向容器A中加水，直至彈簧的變化量不再改變時，即容器B浸沒在水中，則

………①

GB=k(L0-L1)…………..②

所以，比較①②可知：

當ρ水＞ρ0時，F浮＞GB，彈簧處于伸長狀態；

當ρ水＜ρ0時，F浮＜GB，彈簧處于壓縮狀態；

當ρ水=ρ0時，F浮=GB，彈簧保持原長。