Question

為了保護環境，治理水土流失，學校的環保小組設計并進行了河水含沙量的研究．
第一階段是理論分析：分別以ρ_水、ρ_沙、ρ_泥水表示水、泥沙、泥沙水的密度，以x表示每立方米泥沙水中所含泥沙的質量（稱做含沙量），導出了ρ_泥水與ρ_水、ρ_沙、x的關系式；然后作出了泥沙水的密度ρ_泥水隨含沙量x變化的圖象．
第二階段是實驗驗證：在一個量筒里放入一定量干燥的黃土，再倒入一定量的清水，計算出含沙量x，并測出泥沙水的密度ρ_泥水；接著再多次加入清水配制成不同密度的泥沙水，進行同樣的計算和測量，由此得出ρ_泥水與x的多組數據；然后根據這些數據作出了表示泥沙水的密度與含沙量關系的ρ_泥水-x圖象．他們驚喜地發現，實驗結果與理論分析是一致的．
第三階段是實際測量：在一次山洪沖刷地面時，他們采集了40L的水樣，稱出其總質量為40.56kg．此前已經測出干燥的泥沙的密度ρ_沙：2.4×10³kg/m³，于是求出了洪水中的平均含沙量．
（1）請你參與環保小組第一階段的工作，導出ρ_泥水與ρ_水、ρ_沙、x的關系式．然后根據關系式作出泥沙水的密度ρ泥水隨含沙量x變化圖象的草圖．
（2）請你參與環保小組第三階段的計算工作，求出洪水中的平均含沙量．

Answer 1

分析：（1）設含沙量為x，則體積為V的泥沙水中，沙的質量為xV，利用密度公式求沙的體積，進而得出水的體積、水的質量，可求水與沙的總質量，從而得出泥沙水的密度（泥沙水的密度與含沙量x的關系式），據此畫出圖象；
（2）由題知沙石的密度、水的密度，利用密度公式求出泥水的密度，代入ρ_泥水=ρ_水+kx求x的大小．

解答：解：（1）設含沙量為x，則體積為V的泥沙水中，沙的質量為xV，
沙的體積為

xV

ρ沙

，
水的體積為：V-

x

ρ沙

V，
水的質量為：ρ_水V（1-

x

ρ沙

），
水與沙的總質量為：ρ_水V（1-

x

ρ沙

）+xV，
泥沙水的密度：ρ_泥水=ρ_水（1-

x

ρ沙

）+x=ρ_水+x-

ρ水

ρ沙

x=ρ_水+（1-

ρ水

ρ沙

）x，
設k=1-

ρ水

ρ沙

，則ρ_泥水=ρ_水+kx，
泥沙水的密度隨含沙量x變化圖象如圖所示：

（2）由題知，ρ_沙=2.4×10³kg/m³
泥水的密度：
ρ_泥水=

m泥水

V泥水

=

40.56kg

40×10-3m3

=1.014×10³kg/m³      
而

ρ水

ρ沙

=

1.0×103kg/m3

2.4×103kg/m3

≈0.417，
∴k=1-

ρ水

ρ沙

=1-0.417=0.583，
∵ρ_泥水=ρ_水+kx，
∴x=

ρ泥水-ρ水

k

=

(1.014-1)×103kg/m3

0.583

=24kg/m³，
答：（1）泥沙水的密度隨含沙量x變化圖象如圖所示；
（2）洪水中的平均含沙量為24kg/m³．

點評：本題考查了學生對密度公式的掌握和運用，涉及到求混合物的密度和畫圖象，屬于難題！