Question

質量為60kg的工人用如圖所示的滑輪組，將一個合金塊從空中勻速下落到底面積為800cm²的盛有水的容器中。當合金塊接觸水面之前，滑輪組的機械效率為=80%，（不計繩重、摩擦，g取10N/kg，人的每只鞋與地面的接觸面積為200cm²，=3×10³kg/m³）求：

（1）當合金塊全部浸沒在水中時，水對容器底的壓強比合金塊在空氣中時增加了，此時，人對地面的壓強是多少？
（2）合金塊在水中勻速上升時（A的上表面始終不露出水面），滑輪組的機械效率（百分數保留整數）
（3）若用該滑輪組將質量相等、密度之比ρ_甲:ρ_乙=2:3的兩個實心物體甲乙放入盛有足夠多水的容器中，撤去滑輪組后，當甲、乙兩物體靜止后，水對甲、乙的浮力比F_甲:F_乙=6:5，求甲的密度是多少？

Answer 1

（1）  人對地面的壓強P=1.32×10⁴Pa；
（2）  滑輪組的機械效率72.7%
（3）甲的密度是0.8×10³kg/m³

試題分析：（1）當合金塊全部浸沒在水中時，其受力情況如圖1所示，

液面上升的高度，△h==0.1m；
△V_排=V_合金=S△h=0.08m²×0.1m=0.008m³
合金塊的重力為：G_A=ρ_合金gV_合金=3×10³kg/m³×10N/kg×8×10^﹣3m³=240N；
合金塊所受的浮力：F_浮A=ρ_水gV_排=1×10³kg/m³×10N/kg×8×10^﹣3m³=80N；
合金塊所受的拉力為：T'_A=G_A﹣F_浮A=240N﹣80N=160N；
當合金塊在空氣中時，其受力情況如圖2所示：
合金塊的重力為：G_A=ρ_合金gV_合金=3×10³kg/m³×10N/kg×8×10^﹣3m³=240N；
合金塊所受的拉力為：T_A=G_A=240N；
因為η₁==80%，所以，G_動=60N；
取動滑輪為研究對象，當合金塊全部浸沒在水中時，動滑輪的受力情況如圖3所示，3F₂=G_動+T'_A；
F₂=≈73.3N；
取人為研究對象，受力情況如圖4所示，
地面對人的支持力為N=G_人﹣F₂=60kg×10N/kg﹣73.3N=526.7N；
人對地面的壓強P=≈1.32×10⁴Pa；
（2）設合金塊在水中勻速上升的高度為h，則
拉力所做的有用功為W_有用=T'₂h=160h（J）
拉力所做的總功為；W_總=F₂3h=×3h=220hJ；
滑輪組的機械效率η₂=≈72.7%；
（3）∵m_甲=m_乙
根據密度公式及已知條件可得：V_乙=…①；
∵F_甲：F_乙=6：5
可得乙物體排開液體的體積：V_乙^′=…②；
乙物體排開液體的體積只能小于或等于乙物體的體積，比較①②可知：V_甲^′＜V_甲
即甲一定漂浮在水中．
又∵m_甲=m_乙，F_甲：F_乙=6：5，所以乙物體不可能漂浮或懸浮在水中，只可能下沉
即V_乙^′=V_乙…③
因為甲漂浮在水中，得G_甲=F_甲…④
聯立以上4式可得=0.8×10³kg/m³；
點評：（1）先分析合金塊浸沒水中時的受力情況；根據公式G=mg求出合金塊的重力；根據浮力公式求出合金塊的所受的浮力，進一步求出合金塊所受的拉力，根據機械效率求出動滑輪的重力；再以動滑輪和人為研究對象進行受力分析；求出地面對人的支持力，最后利用壓強公式求出人對地面的壓強；
（2）根據公式W=FS求出拉力所做的有用功和總功，有用功和總功的比值就是滑輪組的機械效率；
（3）根據密度公式及已知條件求出乙的體積和乙排開的液體的體積；進一步求出甲和乙在水中的狀態；最后利用密度公式求出甲的密度．